Страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.1.Найдите число корней уравнения:

1) $x^5 = 6$, если $x \in (-\infty;+\infty)$

2) $\frac{5}{x-2} = -1$, если $x \in (-\infty;2)$

3) $x^8 = 1$, если $x \in [-10;+\infty)$

4) $\frac{-3}{x+3} = -2$, если $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

5) $\cos x = -0,4$, если $x \in [-\pi; \pi]$

6) $\sin x = 0,6$, если $x \in (-\pi; 0]$

Начертите единичную окружность и отметьте точки $P_t$, для которых значение $t$ удовлетворяет равенству. Найдите значение $t$, принадлежащее указанным числовым промежуткам (15.2—15.5):

1) Дано уравнение $x^5 = 6$ на промежутке $x \in (-\infty; +\infty)$.Функция $y = x^5$ является степенной функцией с нечетным показателем. Эта функция монотонно возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ и ее область значений также $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, для любого действительного числа в правой части уравнение будет иметь ровно один действительный корень. В данном случае корень $x = \sqrt[5]{6}$ существует и он единственный. Этот корень принадлежит указанному промежутку.

Ответ: 1

2) Дано уравнение $\frac{5}{x - 2} = -1$ на промежутке $x \in (-\infty; 2)$.Сначала решим уравнение. Область допустимых значений уравнения: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Указанный промежуток $(-\infty; 2)$ удовлетворяет этому условию.Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:

$5 = -1 \cdot (x-2)$

$5 = -x + 2$

$x = 2 - 5$

$x = -3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x=-3$ заданному промежутку $(-\infty; 2)$. Так как $-3 < 2$, корень принадлежит промежутку.

Ответ: 1

3) Дано уравнение $x^8 = 1$ на промежутке $x \in [-10; +\infty)$.Это степенное уравнение с четным показателем. Уравнение вида $x^{2n} = a$ при $a > 0$ имеет два действительных корня: $x = \sqrt[2n]{a}$ и $x = -\sqrt[2n]{a}$.В нашем случае $x^8 = 1$, значит, корни уравнения:

$x_1 = \sqrt[8]{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt[8]{1} = -1$

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни указанному промежутку $[-10; +\infty)$.

Для $x_1 = 1$: $1 > -10$, значит, корень принадлежит промежутку.

Для $x_2 = -1$: $-1 > -10$, значит, корень также принадлежит промежутку.

Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.

Ответ: 2

4) Дано уравнение $\frac{-3}{x + 3} = -2$ на промежутке $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.Указанный промежуток является областью допустимых значений для данного уравнения. Решим уравнение:

$-3 = -2(x+3)$

$-3 = -2x - 6$

$2x = -6 + 3$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Найденный корень $x = -1.5$ не равен $-3$, следовательно, он принадлежит заданному промежутку.

Ответ: 1

5) Дано уравнение $\cos x = -0.4$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.Значение $-0.4$ находится в области значений функции косинус, которая равна $[-1; 1]$, поэтому уравнение имеет решения. Промежуток $[-\pi; \pi]$ имеет длину $2\pi$, что соответствует полному периоду функции косинус.На этом промежутке любое значение из интервала $(-1, 1)$ косинус принимает ровно дважды.Графически, прямая $y = -0.4$ пересекает график функции $y = \cos x$ в двух точках на отрезке $[-\pi; \pi]$.Один корень $x_1 = \arccos(-0.4)$ находится в промежутке $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и, следовательно, в $[-\pi; \pi]$.Второй корень $x_2 = -\arccos(-0.4)$ находится в промежутке $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ и также принадлежит $[-\pi; \pi]$.Так как $\arccos(-0.4) \neq 0$, корни $x_1$ и $x_2$ различны.

Ответ: 2

6) Дано уравнение $\sin x = 0.6$ на промежутке $x \in (-\pi; 0]$.Рассмотрим область значений функции $y = \sin x$ на заданном промежутке. Промежуток $(-\pi; 0]$ соответствует третьей и четвертой координатным четвертям на единичной окружности.Для любого $x$ из этого промежутка значение синуса является неположительным, то есть $\sin x \le 0$. Точнее, область значений функции $y = \sin x$ на промежутке $(-\pi; 0]$ есть отрезок $[-1; 0]$.В уравнении требуется, чтобы $\sin x = 0.6$. Так как $0.6 > 0$, это значение не входит в область значений функции на заданном промежутке. Следовательно, на промежутке $(-\pi; 0]$ уравнение не имеет корней.

Ответ: 0

15.2.1) $cost = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $t \in [0; \pi];$

2) $cost = 0,5$, $t \in [0; \frac{\pi}{2}];$

3) $cost = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $t \in [0; \pi];$

4) $cost = -1$, $t \in [-0,3\pi; \pi].$

1)Требуется решить уравнение $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $t \in [0; \pi]$.

Общее решение уравнения $cos t = a$ дается формулой $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем арккосинус: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Общее решение: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$.

Рассмотрим серию $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$ получаем $t = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$. При $n=1$, $t > \pi$, а при $n=-1$, $t < 0$.

Рассмотрим серию $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$, $t = -\frac{5\pi}{6}$, что не входит в отрезок. При $n=1$, $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, что больше $\pi$.

Таким образом, на заданном отрезке есть только одно решение.

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6}$.

2)Требуется решить уравнение $cos t = 0,5$ на отрезке $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$. Уравнение имеет вид $cos t = \frac{1}{2}$.

Общее решение: $t = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни из отрезка $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Из серии $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{3}$. Корень принадлежит отрезку, так как $0 \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$. Другие значения $n$ дают корни вне отрезка.

Из серии $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $t = -\frac{\pi}{3}$, что не принадлежит отрезку. При $n=1$, $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$, что также не входит в отрезок.

Единственное решение на заданном отрезке.

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

3)Требуется решить уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $t \in [0; \pi]$.

Общее решение: $t = \pm arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни из отрезка $[0; \pi]$.

Для серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $t = \frac{\pi}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi$.

Для серии $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ при $n=0$ корень $t = -\frac{\pi}{4}$ не входит в отрезок. При $n=1$ корень $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ также не входит в отрезок.

Таким образом, на заданном отрезке есть только один корень.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

4)Требуется решить уравнение $cos t = -1$ на отрезке $t \in [-0,3\pi; \pi]$.

Это частный случай тригонометрического уравнения.

Общее решение уравнения $cos t = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-0,3\pi; \pi]$, подставляя различные целые значения $n$.

При $n=0$, $t = \pi$. Этот корень принадлежит отрезку, так как $-0,3\pi \le \pi \le \pi$.

При $n=-1$, $t = \pi - 2\pi = -\pi$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $-\pi < -0,3\pi$.

При $n=1$, $t = \pi + 2\pi = 3\pi$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $3\pi > \pi$.

Следовательно, существует единственное решение на данном отрезке.

Ответ: $t = \pi$.

15.3.1) $sint = - \frac{\sqrt{3}}{2}, t \in [-0.5\pi; 0];$

2) $sint = 0.5, t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right];$

3) $sint = \frac{\sqrt{2}}{2}, t \in [0; \pi];$

4) $sint = 1, t \in [0; \pi].$

1) Требуется решить уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на интервале $ t \in [-0,5\pi; 0] $.

Общее решение для уравнения $ \sin t = a $ дается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для нашего случая $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

Общее решение уравнения: $ t = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n $.

Разобьем решение на две серии в зависимости от четности $ n $:

Первая серия (для четных $ n=2k $): $ t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вторая серия (для нечетных $ n=2k+1 $): $ t = -(-\frac{\pi}{3}) + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь выберем корни, принадлежащие интервалу $ [-0,5\pi; 0] $.

Для первой серии: при $ k=0 $, $ t = -\frac{\pi}{3} $. Этот корень удовлетворяет условию, так как $ -0,5\pi \le -\frac{\pi}{3} \le 0 $. При $ k=1 $, $ t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} > 0 $. При $ k=-1 $, $ t = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} < -0,5\pi $.

Для второй серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{4\pi}{3} > 0 $. При $ k=-1 $, $ t = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} $. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $ -\frac{2}{3}\pi < -0,5\pi $.

Таким образом, единственным решением на данном интервале является $ t = -\frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ t = -\frac{\pi}{3} $.

2) Требуется решить уравнение $ \sin t = 0,5 $ на интервале $ t \in [0; \frac{\pi}{2}] $.

Запишем $ 0,5 $ как $ \frac{1}{2} $. Уравнение: $ \sin t = \frac{1}{2} $.

Общее решение: $ t = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим две серии решений:

Первая серия ($ n=2k $): $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Вторая серия ($ n=2k+1 $): $ t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $.

Выберем корни из интервала $ [0; \frac{\pi}{2}] $.

Для первой серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{\pi}{6} $. Этот корень принадлежит интервалу, так как $ 0 \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} $.

Для второй серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{5\pi}{6} $. Этот корень не принадлежит интервалу, так как $ \frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{2} $.

Другие целочисленные значения $ k $ также дают корни вне указанного интервала.

Следовательно, единственное решение: $ t = \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{6} $.

3) Требуется решить уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение: $ t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим две серии решений:

Первая серия ($ n=2k $): $ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $.

Вторая серия ($ n=2k+1 $): $ t = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $.

Выберем корни из интервала $ [0; \pi] $.

Для первой серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{\pi}{4} $. Этот корень принадлежит интервалу $ [0; \pi] $.

Для второй серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{3\pi}{4} $. Этот корень также принадлежит интервалу $ [0; \pi] $.

При других значениях $ k $ корни выходят за пределы заданного интервала.

Таким образом, уравнение имеет два решения на данном интервале.

Ответ: $ t_1 = \frac{\pi}{4}, t_2 = \frac{3\pi}{4} $.

4) Требуется решить уравнение $ \sin t = 1 $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ [0; \pi] $, перебирая значения $ n $.

При $ n=0 $, $ t = \frac{\pi}{2} $. Этот корень принадлежит интервалу $ [0; \pi] $, так как $ 0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi $.

При $ n=1 $, $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} $, что не входит в интервал.

При $ n=-1 $, $ t = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} $, что также не входит в интервал.

Единственное решение на данном интервале — $ t = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} $.

15.4.1) $tgt = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $t \in [-0,5\pi; 0]$;

2) $tgt = \sqrt{3}$, $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$;

3) $tgt = 1$, $t \in [0; 0,5\pi]$;

4) $tgt = -1$, $t \in [0; \pi]$.

1) Решим уравнение $tgt = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид: $t = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$, то общее решение: $t = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $t \in [-0,5\pi; 0]$, то есть $t \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$.

Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} + \pi k \le 0$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{6} + k \le 0$

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{6}$:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{6}$

$-\frac{3}{6} + \frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{6}$

$-\frac{2}{6} \le k \le \frac{1}{6}$

$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, это $k = 0$.

Подставим это значение $k$ в формулу общего решения, чтобы найти корень:

$t = -\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

2) Решим уравнение $tgt = \sqrt{3}$.

Общее решение: $t = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$0 \le \frac{1}{3} + k \le \frac{1}{2}$

Вычтем из всех частей $\frac{1}{3}$:

$0 - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{3-2}{6}$

$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}$

Единственное целое значение $k$ в этом интервале — это $k=0$.

Найдем соответствующий корень:

$t = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Решим уравнение $tgt = 1$.

Общее решение: $t = \operatorname{arctg}(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 0,5\pi]$, то есть $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$0 \le \frac{1}{4} + k \le \frac{1}{2}$

Вычтем из всех частей $\frac{1}{4}$:

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$

Единственное целое значение $k$ в этом интервале — это $k=0$.

Найдем соответствующий корень:

$t = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

4) Решим уравнение $tgt = -1$.

Общее решение: $t = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \pi$

Разделим на $\pi$:

$0 \le -\frac{1}{4} + k \le 1$

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{4} \le k \le 1 + \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$

Единственное целое значение $k$ в этом интервале — это $k=1$.

Найдем соответствующий корень:

$t = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

15.5.1) $ctg t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$, $t \in [-0,5\pi; 0]$;

2) $ctg t = \sqrt{3}$, $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$;

3) $ctg t = 1$, $t \in [0; 0,5\pi]$;

4) $ctg t = -1$, $t \in [0; \pi]$.

1) Решим уравнение $ctg(t) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ на промежутке $t \in [-0,5\pi; 0]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Используем формулу $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение уравнения: $t = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$. Для этого будем перебирать целые значения $n$.

При $n = 0$: $t = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, так как $\frac{2\pi}{3} > 0$.

При $n = -1$: $t = \frac{2\pi}{3} - \pi = \frac{2\pi - 3\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le 0$.

При $n = -2$: $t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{4\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, на заданном промежутке есть только один корень.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

2) Решим уравнение $ctg(t) = \sqrt{3}$ на промежутке $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Мы знаем, что $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $0 \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.

При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $\frac{7\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$.

При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{5\pi}{6} < 0$.

Таким образом, единственным решением на заданном отрезке является $t = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

3) Решим уравнение $ctg(t) = 1$ на промежутке $t \in [0; 0,5\pi]$.

Промежуток $[0; 0,5\pi]$ эквивалентен промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ дается формулой $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $a = 1$ имеем $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Общее решение: $t = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, которые лежат в промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Этот корень не входит в заданный промежуток, так как $\frac{5\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.

При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Этот корень также не входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{4} < 0$.

Следовательно, на указанном промежутке есть только одно решение.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

4) Решим уравнение $ctg(t) = -1$ на промежутке $t \in [0; \pi]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ записывается как $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -1$ находим $arcctg(-1)$. Используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем:

$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Общее решение уравнения: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$.

При $n = 0$: $t = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$.

При $n = 1$: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $\frac{7\pi}{4} > \pi$.

При $n = -1$: $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{4} < 0$.

Таким образом, существует единственное решение на заданном отрезке.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

Найдите значения выражений (15.6–15.8):

15.6.1) $\arcsin(-1)$; 2) $\arcsin 0$; 3) $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$; 4) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

1) Найти значение `\arcsin(-1)`.

По определению, арксинусом числа `a` (обозначается `\arcsin(a)`) называется такое число `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, что синус этого числа равен `a` (`\sin(\alpha) = a`).

В данном случае `a = -1`. Нам нужно найти такое `\alpha`, что `\sin(\alpha) = -1` и `-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}`.

Известно, что `\sin(\alpha) = -1` при `\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k`, где `k` - целое число. Единственное значение из этого множества, которое принадлежит отрезку `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, это `-\frac{\pi}{2}` (при `k=0`).

Следовательно, `\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}`.

Ответ: `-\frac{\pi}{2}`.

2) Найти значение `\arcsin(0)`.

Ищем такое число `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, для которого `\sin(\alpha) = 0`.

Уравнение `\sin(\alpha) = 0` имеет решения `\alpha = \pi k`, где `k` - целое число. Из всех этих решений только `\alpha = 0` (при `k=0`) попадает в отрезок `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`.

Таким образом, `\arcsin(0) = 0`.

Ответ: `0`.

3) Найти значение `\arcsin(\frac{1}{2})`.

Нам нужно найти такой угол `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, что `\sin(\alpha) = \frac{1}{2}`.

Это табличное значение для синуса. Мы знаем, что `\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}`.

Поскольку угол `\frac{\pi}{6}` принадлежит отрезку `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, то по определению арксинуса получаем, что `\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}`.

Ответ: `\frac{\pi}{6}`.

4) Найти значение `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})`.

Ищем такое число `\alpha` из отрезка `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`, для которого `\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}`.

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: `\arcsin(-x) = -\arcsin(x)`.`\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})`.

Теперь найдем `\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})`. Это угол, синус которого равен `\frac{\sqrt{3}}{2}`. Из таблицы тригонометрических значений известно, что `\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}`. Угол `\frac{\pi}{3}` принадлежит отрезку `[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]`.

Значит, `\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}`.

Следовательно, `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}`.

Ответ: `-\frac{\pi}{3}`.

15.7.1) $arccos0;$

2) $arccos1;$

3) $arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

4) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

1) arccos0

По определению, арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. То есть, $\arccos a = \alpha$ означает, что $\cos \alpha = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

В данном случае нам нужно найти $\arccos 0$. Это значит, нам нужно найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, что $\cos \alpha = 0$.

Известно, что косинус равен нулю при углах $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число. Нам нужно выбрать значение, которое попадает в промежуток $[0; \pi]$.

При $k=0$ получаем угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Этот угол принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Следовательно, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2) arccos1

Нам нужно найти угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$.

Известно, что косинус равен единице при углах $2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Выберем значение, которое попадает в промежуток $[0; \pi]$.

При $k=0$ получаем угол $\alpha = 0$. Этот угол принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Следовательно, $\arccos 1 = 0$.

Ответ: $0$

3) arccos($-\frac{\sqrt{2}}{2}$)

Нам нужно найти угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется формула: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, где $a \in [0, 1]$.

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Применим формулу:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, и $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

4) arccos($-\frac{\sqrt{3}}{2}$)

Нам нужно найти угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Воспользуемся той же формулой: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Найдем $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу:

$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, и $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

15.8. 1) $ \text{arctg}1; $
2) $ \text{arctg}0; $
3) $ \text{arctg}(-1); $
4) $ \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

1) arctg1;

По определению, арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg } a$, — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Таким образом, нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $\text{tg } \alpha = 1$.

Известно, что тангенс угла, равного $\frac{\pi}{4}$, равен 1: $\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то он и является искомым значением.

Следовательно, $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

2) arctg0;

Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = 0$.

Тангенс угла равен нулю, когда синус этого угла равен нулю (а косинус не равен нулю). Уравнение $\text{tg } \alpha = 0$ эквивалентно уравнению $\text{sin } \alpha = 0$.

Известно, что $\text{tg } 0 = 0$.

Угол $0$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому он является решением.

Следовательно, $\text{arctg } 0 = 0$.

Ответ: $0$

3) arctg(–1);

Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = -1$.

Арктангенс является нечетной функцией, что означает, что для любого $x$ из области определения выполняется свойство: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Применим это свойство к нашему выражению: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Из первого пункта мы знаем, что $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, получаем: $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

4) arctg($-\frac{\sqrt{3}}{3}$);

Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Следовательно, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Теперь найдем значение $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Это угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $\text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение обратно, получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Угол $-\frac{\pi}{6}$ также принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и $\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

Убедитесь, что в рассмотренном выше опыте вероятность появления каждого из значений случайной величины, соответственно, равна $p_1 = \frac{1}{36}$, $p_2 = \frac{1}{18}$, $p_3 = \frac{1}{12}$, $p_4 = \frac{1}{9}$, $p_5 = \frac{5}{36}$, $p_6 = \frac{1}{6}$, $p_7 = \frac{5}{36}$, $p_8 = \frac{1}{9}$, $p_9 = \frac{1}{12}$, $p_{10} = \frac{1}{18}$, $p_{11} = \frac{1}{36}$.

Для проверки указанных вероятностей необходимо определить, о каком случайном опыте идёт речь. Судя по знаменателям дробей (36, 18, 12, 9, 6), которые являются делителями числа 36, можно предположить, что опыт заключается в бросании двух стандартных шестигранных игральных костей. Общее число равновозможных исходов в таком опыте составляет $N = 6 \times 6 = 36$.

Случайной величиной, как правило, в таком опыте является сумма очков, выпавших на двух костях. Возможные значения этой суммы лежат в диапазоне от $1+1=2$ до $6+6=12$. Всего 11 различных значений. В задании приведено 11 вероятностей $p_1, p_2, \dots, p_{11}$. Логично предположить, что эти вероятности соответствуют вероятностям получения сумм $2, 3, \dots, 12$ по порядку. То есть, $p_k$ — это вероятность того, что сумма очков равна $k+1$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов, а $N$ — общее число исходов.

Проверим каждое значение вероятности.

p₁ = 1/36

Эта вероятность должна соответствовать наименьшей сумме очков, равной 2.Благоприятствующий исход один: (1, 1).Число благоприятствующих исходов $m=1$.Вероятность: $P(\text{сумма}=2) = \frac{m}{N} = \frac{1}{36}$.Это совпадает с заданным значением $p_1$.

Ответ: $p_1 = \frac{1}{36}$.

p₂ = 1/18

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 3.Благоприятствующие исходы: (1, 2), (2, 1).Число благоприятствующих исходов $m=2$.Вероятность: $P(\text{сумма}=3) = \frac{m}{N} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.Это совпадает с заданным значением $p_2$.

Ответ: $p_2 = \frac{1}{18}$.

p₃ = 1/12

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 4.Благоприятствующие исходы: (1, 3), (2, 2), (3, 1).Число благоприятствующих исходов $m=3$.Вероятность: $P(\text{сумма}=4) = \frac{m}{N} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.Это совпадает с заданным значением $p_3$.

Ответ: $p_3 = \frac{1}{12}$.

p₄ = 1/9

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 5.Благоприятствующие исходы: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).Число благоприятствующих исходов $m=4$.Вероятность: $P(\text{сумма}=5) = \frac{m}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.Это совпадает с заданным значением $p_4$.

Ответ: $p_4 = \frac{1}{9}$.

p₅ = 5/36

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 6.Благоприятствующие исходы: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).Число благоприятствующих исходов $m=5$.Вероятность: $P(\text{сумма}=6) = \frac{m}{N} = \frac{5}{36}$.Это совпадает с заданным значением $p_5$.

Ответ: $p_5 = \frac{5}{36}$.

p₆ = 1/6

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 7.Благоприятствующие исходы: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).Число благоприятствующих исходов $m=6$.Вероятность: $P(\text{сумма}=7) = \frac{m}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.Это совпадает с заданным значением $p_6$.

Ответ: $p_6 = \frac{1}{6}$.

p₇ = 5/36

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 8.Благоприятствующие исходы: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).Число благоприятствующих исходов $m=5$.Вероятность: $P(\text{сумма}=8) = \frac{m}{N} = \frac{5}{36}$.Это совпадает с заданным значением $p_7$.

Ответ: $p_7 = \frac{5}{36}$.

p₈ = 1/9

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 9.Благоприятствующие исходы: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).Число благоприятствующих исходов $m=4$.Вероятность: $P(\text{сумма}=9) = \frac{m}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.Это совпадает с заданным значением $p_8$.

Ответ: $p_8 = \frac{1}{9}$.

p₉ = 1/12

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 10.Благоприятствующие исходы: (4, 6), (5, 5), (6, 4).Число благоприятствующих исходов $m=3$.Вероятность: $P(\text{сумма}=10) = \frac{m}{N} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.Это совпадает с заданным значением $p_9$.

Ответ: $p_9 = \frac{1}{12}$.

p₁₀ = 1/18

Эта вероятность соответствует сумме очков, равной 11.Благоприятствующие исходы: (5, 6), (6, 5).Число благоприятствующих исходов $m=2$.Вероятность: $P(\text{сумма}=11) = \frac{m}{N} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.Это совпадает с заданным значением $p_{10}$.

Ответ: $p_{10} = \frac{1}{18}$.

p₁₁ = 1/36

Эта вероятность соответствует наибольшей сумме очков, равной 12.Благоприятствующий исход один: (6, 6).Число благоприятствующих исходов $m=1$.Вероятность: $P(\text{сумма}=12) = \frac{m}{N} = \frac{1}{36}$.Это совпадает с заданным значением $p_{11}$.

Ответ: $p_{11} = \frac{1}{36}$.

Таким образом, все указанные вероятности соответствуют распределению суммы очков при бросании двух игральных костей. Для полной уверенности можно проверить, что сумма всех вероятностей равна 1.

$\sum_{k=1}^{11} p_k = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{1}{9} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36}$

Приводя к общему знаменателю 36:

$\sum_{k=1}^{11} p_k = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} + \frac{4}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36} + \frac{5}{36} + \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Сумма вероятностей равна 1, что подтверждает правильность найденного распределения.

Ответ: Проверка показала, что все указанные в задании вероятности верны для опыта с бросанием двух игральных костей, где случайной величиной является сумма выпавших очков.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему случайная величина $X$ из рассмотренного выше опыта является дискретной случайной величиной?

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество её возможных значений конечно или счётно. Это означает, что все значения, которые может принять эта величина, можно пересчитать или пронумеровать. Между любыми двумя её возможными значениями нет других возможных значений.

В контексте некого случайного опыта, случайная величина $X$ является дискретной, если она описывает результат, который можно посчитать. Например:

• Количество выпавших орлов при подбрасывании монеты $n$ раз. Возможные значения: $\{0, 1, 2, \dots, n\}$.
• Число, выпавшее на игральной кости. Возможные значения: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Количество бракованных изделий в партии. Возможные значения: $\{0, 1, 2, \dots, N\}$, где $N$ - размер партии.

Во всех этих примерах случайная величина может принимать только определённые, изолированные целые значения. Она не может принять значение, например, $1.5$ или $\sqrt{2}$.

В отличие от дискретной, непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Примерами могут служить рост человека, температура воздуха или время ожидания автобуса.

Таким образом, случайная величина $X$ из рассматриваемого в задании опыта является дискретной именно потому, что её возможные значения являются отдельными, счётными точками на числовой оси, а не сплошным интервалом.

Ответ: Случайная величина $X$ является дискретной, так как множество её возможных значений конечно или счётно. Это означает, что она может принимать только отдельные, изолированные значения, которые можно пересчитать (например, целые числа), в отличие от непрерывной величины, которая может принимать любое значение из заданного диапазона.