Страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Всегда ли наименьшее значение функции совпадает с ее минимумом, а наибольшее — с максимумом? Приведите примеры.

2. Почему для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции надо находить производную функции и критические точки?

1. Нет, не всегда. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке — это глобальные характеристики, в то время как минимум и максимум — это локальные. Важно различать эти понятия:

Минимум (локальный минимум) — это значение функции в точке, в некоторой окрестности которой все другие значения функции не меньше этого. Аналогично, максимум (локальный максимум) — это значение функции в точке, в некоторой окрестности которой все другие значения функции не больше этого. У функции на отрезке может быть несколько локальных экстремумов (минимумов и максимумов).

Наименьшее и наибольшее значения функции — это самое маленькое и самое большое значения, которые функция принимает на всем заданном отрезке.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке могут достигаться как в точках локального экстремума, так и на концах этого отрезка. Поэтому локальный максимум не обязательно является наибольшим значением, а локальный минимум — наименьшим.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 12x$ на отрезке $[-3, 5]$.

1. Найдем ее локальные экстремумы. Для этого найдем производную и критические точки:

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$.

Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат отрезку $[-3, 5]$.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. Значение функции: $f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$. Таким образом, локальный максимум равен $16$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. Значение функции: $f(2) = 2^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$. Таким образом, локальный минимум равен $-16$.

2. Теперь вычислим значения функции на концах отрезка $[-3, 5]$:

$f(-3) = (-3)^3 - 12(-3) = -27 + 36 = 9$.

$f(5) = 5^3 - 12(5) = 125 - 60 = 65$.

3. Сравним все полученные значения: локальный максимум $16$, локальный минимум $-16$, значения на концах $9$ и $65$.

Самое маленькое из этих чисел — $-16$. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно $-16$, и оно совпало с локальным минимумом.

Самое большое из этих чисел — $65$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $65$. Оно достигается на правом конце отрезка ($x=5$), а не в точке локального максимума, где значение было всего $16$.

Этот пример наглядно показывает, что наибольшее значение функции может не совпадать с ее локальным максимумом.

Ответ: Нет, не всегда. Наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке может достигаться на его концах, и эти значения могут быть, соответственно, больше любого локального максимума или меньше любого локального минимума.

2. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке необходимо находить ее производную и критические точки, потому что именно в этих точках (а также на концах отрезка) могут находиться искомые значения. Это следует из фундаментальных теорем математического анализа.

Во-первых, согласно Теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Это гарантирует, что решение у задачи всегда есть.

Во-вторых, согласно Теореме Ферма, если функция имеет в некоторой внутренней точке $x_0$ отрезка локальный экстремум (минимум или максимум) и в этой точке существует производная, то эта производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Из этих теорем следует, что точки, в которых непрерывная функция может принимать наибольшее или наименьшее значение на отрезке, могут быть только двух типов: либо это концы отрезка (точки $a$ и $b$), либо это внутренние точки отрезка, в которых достигается локальный экстремум.

Точки второго типа, как следует из теоремы Ферма, являются критическими точками. Напомним, что критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой ее производная равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы найти все возможные точки, в которых может быть достигнуто наибольшее или наименьшее значение, мы должны составить список "подозреваемых" точек. В этот список входят: (а) концы заданного отрезка; (б) критические точки функции, которые находятся внутри этого отрезка.

Процедура нахождения производной и критических точек — это систематический способ выявить всех "кандидатов" на экстремум внутри отрезка. Если проигнорировать этот шаг, можно легко пропустить точку локального максимума или минимума, в которой функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение на всем отрезке. Поэтому, чтобы гарантированно найти верный ответ, мы должны вычислить значения функции во всех этих точках-кандидатах и сравнить их между собой.

Ответ: Производную и критические точки необходимо находить для того, чтобы выявить все внутренние точки отрезка, в которых функция может достигать своего экстремального (наибольшего или наименьшего) значения. Вместе с концами отрезка эти точки составляют полный список "кандидатов", из которых путем сравнения значений функции выбирается искомое наибольшее и наименьшее значение.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве (51.1–51.5):

51.1. 1) $f(x) = 7x - 14$, $[0; 4];$

2) $f(x) = -0,2x + 0,4$, $[1; 3].$

1) Дана функция $f(x) = 7x - 14$ на отрезке $[0; 4]$.

Это линейная функция. Её угловой коэффициент $k=7$ положителен, следовательно, функция является возрастающей на всем отрезке. Поэтому свое наименьшее значение она принимает на левой границе отрезка ($x=0$), а наибольшее — на правой ($x=4$).

Вычисляем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = 7 \cdot 0 - 14 = -14$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(4) = 7 \cdot 4 - 14 = 28 - 14 = 14$.

Ответ: наименьшее значение функции -14, наибольшее значение 14.

2) Дана функция $f(x) = -0.2x + 0.4$ на отрезке $[1; 3]$.

Это линейная функция. Её угловой коэффициент $k=-0.2$ отрицателен, следовательно, функция является убывающей на всем отрезке. Поэтому свое наибольшее значение она принимает на левой границе отрезка ($x=1$), а наименьшее — на правой ($x=3$).

Вычисляем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(1) = -0.2 \cdot 1 + 0.4 = 0.2$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(3) = -0.2 \cdot 3 + 0.4 = -0.6 + 0.4 = -0.2$.

Ответ: наименьшее значение функции -0.2, наибольшее значение 0.2.

51.2. 1) $f(x) = \frac{6}{x}$, $[1; 6];$

2) $f(x) = -\frac{5}{x}$, $[-5; -1].$

1) Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{6}{x}$ на отрезке $[1; 6]$, мы исследуем ее поведение на этом отрезке.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{6}{x}\right)' = (6x^{-1})' = 6 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{6}{x^2}$.

Производная $f'(x) = -\frac{6}{x^2}$ отрицательна для всех $x$ из области определения функции (где $x \neq 0$). В частности, на отрезке $[1; 6]$ производная $f'(x) < 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ является убывающей на всем отрезке $[1; 6]$.

Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой границе отрезка (в точке $x=a$), а наименьшее — в правой границе (в точке $x=b$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(1) = \frac{6}{1} = 6$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(6) = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $f_{наиб} = 6$, $f_{наим} = 1$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -\frac{5}{x}$ на отрезке $[-5; -1]$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(-\frac{5}{x}\right)' = (-5x^{-1})' = -5 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{5}{x^2}$.

Производная $f'(x) = \frac{5}{x^2}$ положительна для всех $x$ из области определения функции (где $x \neq 0$). В частности, на отрезке $[-5; -1]$ производная $f'(x) > 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ является возрастающей на всем отрезке $[-5; -1]$.

Для возрастающей функции на отрезке $[a; b]$ наименьшее значение достигается в левой границе отрезка (в точке $x=a$), а наибольшее — в правой границе (в точке $x=b$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-5) = -\frac{5}{-5} = 1$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-1) = -\frac{5}{-1} = 5$.

Ответ: $f_{наиб} = 5$, $f_{наим} = 1$.

51.3.

1) $f(x) = \sqrt{x}, [0; 9];$

2) $f(x) = \sqrt{x}, [1; 4].$

1) Задача, по всей видимости, заключается в вычислении определенного интеграла функции $f(x) = \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 9]$. Геометрически это соответствует площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=0$ и $x=9$.

Для вычисления нам понадобится формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Запишем интеграл, представив корень как степень:

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx = \int_0^9 x^{1/2} \,dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{1/2}$ по правилу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$\int_0^9 x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^9 = \frac{2}{3}(9)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2}$.

Вычислим значение для верхнего предела:

$\frac{2}{3}(9)^{3/2} = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 = \frac{2}{3}(3)^3 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18$.

Вычислим значение для нижнего предела:

$\frac{2}{3}(0)^{3/2} = 0$.

Найдем разность: $18 - 0 = 18$.

Ответ: $18$.

2) Аналогично первому пункту, вычислим определенный интеграл для функции $f(x) = \sqrt{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

Запишем интеграл:

$\int_1^4 \sqrt{x} \,dx = \int_1^4 x^{1/2} \,dx$.

Первообразная для функции $f(x) = x^{1/2}$ нам уже известна: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_1^4 x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^4 = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}$.

Вычислим значение для верхнего предела:

$\frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{3}(2)^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.

Вычислим значение для нижнего предела:

$\frac{2}{3}(1)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Найдем разность: $\frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16-2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.

51.4.

1) $f(x) = 2 \sin x$, $[-0.5\pi; \pi];$

2) $f(x) = -2 \cos x$, $[-\pi; 0.5\pi].$

116

1) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = 2 \sin x$ на отрезке $[-0,5\pi; \pi]$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке следующий: найти производную, найти критические точки, вычислить значения функции в критических точках (принадлежащих отрезку) и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2 \sin x)' = 2 \cos x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$2 \cos x = 0$

$\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Выбираем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

При $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка является левым концом отрезка.

Другие целочисленные значения $n$ дают точки, не входящие в данный отрезок.

4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке $x=\frac{\pi}{2}$ и на концах отрезка $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\pi$.

$f(-\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) = -2$.

$f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

$f(\pi) = 2 \sin(\pi) = 2 \cdot 0 = 0$.

5. Сравниваем полученные значения: -2, 2, 0. Наименьшее значение функции на отрезке равно -2, а наибольшее равно 2.

Множество значений функции на отрезке — это все значения от наименьшего до наибольшего включительно.

Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.

2) Найдем множество значений функции $f(x) = -2 \cos x$ на отрезке $[-\pi; 0,5\pi]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-2 \cos x)' = -2(-\sin x) = 2 \sin x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$2 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Выбираем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

При $n=-1$, $x = -\pi$. Эта точка является левым концом отрезка.

При $n=0$, $x = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

Другие целочисленные значения $n$ дают точки, не входящие в данный отрезок.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-\pi$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

$f(-\pi) = -2 \cos(-\pi) = -2 \cdot (-1) = 2$.

$f(0) = -2 \cos(0) = -2 \cdot 1 = -2$.

$f(\frac{\pi}{2}) = -2 \cos(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 = 0$.

5. Сравниваем полученные значения: 2, -2, 0. Наименьшее значение функции на отрезке равно -2, а наибольшее равно 2.

Множество значений функции на отрезке — это все значения от наименьшего до наибольшего включительно.

Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.