Номер 51.3, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.3.

1) $f(x) = \sqrt{x}, [0; 9];$

2) $f(x) = \sqrt{x}, [1; 4].$

1) Задача, по всей видимости, заключается в вычислении определенного интеграла функции $f(x) = \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 9]$. Геометрически это соответствует площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=0$ и $x=9$.

Для вычисления нам понадобится формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Запишем интеграл, представив корень как степень:

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx = \int_0^9 x^{1/2} \,dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{1/2}$ по правилу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$\int_0^9 x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^9 = \frac{2}{3}(9)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2}$.

Вычислим значение для верхнего предела:

$\frac{2}{3}(9)^{3/2} = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 = \frac{2}{3}(3)^3 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18$.

Вычислим значение для нижнего предела:

$\frac{2}{3}(0)^{3/2} = 0$.

Найдем разность: $18 - 0 = 18$.

Ответ: $18$.

2) Аналогично первому пункту, вычислим определенный интеграл для функции $f(x) = \sqrt{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

Запишем интеграл:

$\int_1^4 \sqrt{x} \,dx = \int_1^4 x^{1/2} \,dx$.

Первообразная для функции $f(x) = x^{1/2}$ нам уже известна: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_1^4 x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^4 = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}$.

Вычислим значение для верхнего предела:

$\frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{3}(2)^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.

Вычислим значение для нижнего предела:

$\frac{2}{3}(1)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Найдем разность: $\frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16-2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.