Номер 51.10, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутках (51.10–51.13):

51.10. 1) $f(x) = x^3 - 12x + 1, [0; 1];$

2) $f(x) = -x^3 + 6x - 5, [-1; 0].$

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^3 - 12x + 1$ на промежутке $[0; 1]$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции. Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^3 - 12x + 1)' = 3x^2 - 12$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Критическими точками являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Проверить, принадлежат ли найденные критические точки заданному промежутку $[0; 1]$.

Точка $x_1 = 2$ не принадлежит промежутку $[0; 1]$.

Точка $x_2 = -2$ также не принадлежит промежутку $[0; 1]$.

4. Так как на заданном промежутке нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция достигает на концах этого промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$f(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 + 1 = 1$.

$f(1) = 1^3 - 12 \cdot 1 + 1 = 1 - 12 + 1 = -10$.

5. Сравнив полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-10$, а наибольшее равно $1$.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -10$; наибольшее значение $f_{наиб} = 1$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = -x^3 + 6x - 5$ на промежутке $[-1; 0]$ выполним следующие действия:

1. Найти производную функции. Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (-x^3 + 6x - 5)' = -3x^2 + 6$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

Критическими точками являются $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

3. Проверить, принадлежат ли найденные критические точки заданному промежутку $[-1; 0]$.

Точка $x_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$ не принадлежит промежутку $[-1; 0]$.

Точка $x_2 = -\sqrt{2} \approx -1.414$ также не принадлежит промежутку $[-1; 0]$.

4. Поскольку на заданном промежутке нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция достигает на концах этого промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$:

$f(-1) = -(-1)^3 + 6(-1) - 5 = -(-1) - 6 - 5 = 1 - 6 - 5 = -10$.

$f(0) = -(0)^3 + 6(0) - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$.

5. Сравнив полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-10$, а наибольшее равно $-5$.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -10$; наибольшее значение $f_{наиб} = -5$.