Номер 51.11, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.11. 1) $f(x) = x^4 - 8x - 2, [-2; -1]$;

2) $f(x) = -x^4 + 4x^3 + 3, [0, 4]$.

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 8x - 2$ на отрезке $[-2; -1]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^4 - 8x - 2)' = 4x^3 - 8$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$4x^3 - 8 = 0$

$4x^3 = 8$

$x^3 = 2$

$x = \sqrt[3]{2}$

3. Проверить, принадлежит ли найденная критическая точка заданному отрезку $[-2; -1]$.

Поскольку $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{2} < 2$. Значит, точка $x = \sqrt[3]{2}$ не принадлежит отрезку $[-2; -1]$.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка, так как экстремумы могут достигаться на границах.

При $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^4 - 8(-2) - 2 = 16 + 16 - 2 = 30$.

При $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1) - 2 = 1 + 8 - 2 = 7$.

5. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них является наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Наибольшее значение функции: $max_{[-2; -1]} f(x) = 30$.

Наименьшее значение функции: $min_{[-2; -1]} f(x) = 7$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 30, наименьшее значение функции равно 7.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -x^4 + 4x^3 + 3$ на отрезке $[0; 4]$, выполним те же действия:

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (-x^4 + 4x^3 + 3)' = -4x^3 + 12x^2$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$-4x^3 + 12x^2 = 0$

$-4x^2(x - 3) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки отрезку $[0; 4]$.

Точка $x_1 = 0$ совпадает с левым концом отрезка.

Точка $x_2 = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$, так как $0 \le 3 \le 4$.

4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка. То есть в точках $x=0$, $x=3$ и $x=4$.

При $x = 0$:

$f(0) = -(0)^4 + 4(0)^3 + 3 = 3$.

При $x = 3$:

$f(3) = -(3)^4 + 4(3)^3 + 3 = -81 + 4 \cdot 27 + 3 = -81 + 108 + 3 = 30$.

При $x = 4$:

$f(4) = -(4)^4 + 4(4)^3 + 3 = -256 + 4 \cdot 64 + 3 = -256 + 256 + 3 = 3$.

5. Сравнить полученные значения: $3$, $30$, $3$.

Наибольшее значение функции: $max_{[0; 4]} f(x) = 30$.

Наименьшее значение функции: $min_{[0; 4]} f(x) = 3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 30, наименьшее значение функции равно 3.