Номер 51.7, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве (51.7–51.9):

51.7.1) $f(x) = x^2 - 8x + 17, [-1; 2];$

2) $f(x) = x^2 - 4x + 3, [1; 2].$

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^2 - 8x + 17$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо следовать алгоритму:

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^2 - 8x + 17)' = 2x - 8$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x=4$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$, поэтому мы ее не рассматриваем.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка.

При $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 17 = 1 + 8 + 17 = 26$.

При $x = 2$:

$f(2) = 2^2 - 8(2) + 17 = 4 - 16 + 17 = 5$.

5. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Сравнивая $f(-1) = 26$ и $f(2) = 5$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 26, а наименьшее — 5.

Ответ: наименьшее значение функции $f_{min} = 5$, наибольшее значение функции $f_{max} = 26$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[1; 2]$, применим тот же алгоритм.

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[1; 2]$.

Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[1; 2]$ и является его правым концом.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, попавших в него. В данном случае, нам нужно вычислить значения в точках $x=1$ и $x=2$.

При $x = 1$:

$f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

При $x = 2$:

$f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

5. Сравнить полученные значения.

Сравнивая $f(1) = 0$ и $f(2) = -1$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 0, а наименьшее — -1.

Ответ: наименьшее значение функции $f_{min} = -1$, наибольшее значение функции $f_{max} = 0$.