Номер 51.12, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.12. 1) $f(x) = x + \frac{4}{x}$, [1; 5];

2) $f(x) = x^2 - \frac{8}{x}$, [0.5; 2].

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на отрезке $[1; 5]$, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f(x)$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = x + 4x^{-1}$.

$f'(x) = (x + 4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

2. Найти стационарные (критические) точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в отрезок $[1; 5]$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$1 - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$

Отсюда следует, что $x^2 - 4 = 0$, при $x \neq 0$.

$x^2 = 4$, что дает два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку $[1; 5]$.

Из найденных точек только $x = 2$ принадлежит отрезку $[1; 5]$.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей этому отрезку.

$f(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5$

$f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$

$f(5) = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0.8 = 5.8$

5. Сравнить полученные значения. Наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке, а наибольшее — наибольшим.

Сравнивая значения $5$, $4$ и $5.8$, получаем:

Наименьшее значение функции: $f_{min} = 4$ (достигается при $x=2$).

Наибольшее значение функции: $f_{max} = 5.8$ (достигается при $x=5$).

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно $4$, а наибольшее значение равно $5.8$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^2 - \frac{8}{x}$ на отрезке $[0.5; 2]$, следуем тому же алгоритму:

1. Найти производную функции $f(x)$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = x^2 - 8x^{-1}$.

$f'(x) = (x^2 - 8x^{-1})' = 2x - (-8)x^{-2} = 2x + \frac{8}{x^2}$.

2. Найти стационарные (критические) точки функции.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в отрезок $[0.5; 2]$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$2x + \frac{8}{x^2} = 0$

$\frac{2x^3 + 8}{x^2} = 0$

Отсюда $2x^3 + 8 = 0$, при $x \neq 0$.

$2x^3 = -8$

$x^3 = -4$

$x = \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$.

3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку $[0.5; 2]$.

Точка $x = -\sqrt[3]{4}$ является отрицательным числом, следовательно, она не принадлежит отрезку $[0.5; 2]$.

Таким образом, внутри отрезка $[0.5; 2]$ критических точек нет.

4. Так как на интервале $(0.5; 2)$ нет критических точек, функция на этом отрезке является монотонной. Определим характер монотонности, найдя знак производной в любой точке интервала, например, в точке $x=1$.

$f'(1) = 2(1) + \frac{8}{1^2} = 2 + 8 = 10$.

Поскольку $f'(x) > 0$ на всем отрезке $[0.5; 2]$ (так как $x > 0$ на этом отрезке, оба слагаемых $2x$ и $\frac{8}{x^2}$ положительны), функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.

5. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(0.5) = (0.5)^2 - \frac{8}{0.5} = 0.25 - 16 = -15.75$

$f(2) = 2^2 - \frac{8}{2} = 4 - 4 = 0$

Наименьшее значение функции: $f_{min} = -15.75$ (достигается при $x=0.5$).

Наибольшее значение функции: $f_{max} = 0$ (достигается при $x=2$).

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0.5; 2]$ равно $-15.75$, а наибольшее значение равно $0$.