Номер 51.16, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве (51.16–51.18):

51.16. 1) $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$, $[1; 9];$

2) $f(x) = \sqrt{x(7-x)}$, $[1; 3].$

1) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ на отрезке $[1; 9]$, воспользуемся алгоритмом нахождения экстремумов функции на отрезке.

1. Найдем производную функции. Для удобства представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}$.

$f'(x) = (x^{1/2} + x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.

2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$\frac{x-1}{2x\sqrt{x}} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Область определения функции $x > 0$.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[1; 9]$.

3. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка $[1; 9]$. То есть в точках $x=1$ и $x=9$.

При $x=1$:

$f(1) = \sqrt{1} + \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 + 1 = 2$.

При $x=9$:

$f(9) = \sqrt{9} + \frac{1}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

4. Сравним полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее.

$2$ и $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Очевидно, что $2 < \frac{10}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно 2, а наибольшее значение равно $\frac{10}{3}$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\frac{10}{3}$.

2) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \sqrt{x(7-x)}$ на отрезке $[1; 3]$.

Функция $y=\sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для $u \ge 0$. Поэтому наименьшее и наибольшее значения функции $f(x)$ будут достигаться в тех же точках $x$, что и наименьшее и наибольшее значения подкоренного выражения $g(x) = x(7-x) = 7x - x^2$ на том же отрезке $[1; 3]$. Найдем экстремумы для $g(x)$.

1. Найдем производную функции $g(x)$.

$g'(x) = (7x - x^2)' = 7 - 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $g'(x) = 0$.

$7 - 2x = 0 \implies 2x = 7 \implies x = 3.5$.

Полученная критическая точка $x=3.5$ не принадлежит заданному отрезку $[1; 3]$.

3. Поскольку на интервале $(1; 3)$ нет критических точек, а функция $g(x)$ непрерывна на отрезке $[1; 3]$, ее наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах этого отрезка.

Проверим знак производной на отрезке $[1; 3]$. Например, при $x=2$, $g'(2) = 7 - 2(2) = 3 > 0$. Значит, функция $g(x)$ возрастает на всем отрезке $[1; 3]$.

Следовательно, наименьшее значение будет при $x=1$, а наибольшее при $x=3$.

4. Вычислим значения исходной функции $f(x)$ в этих точках.

Наименьшее значение:

$f_{min} = f(1) = \sqrt{1(7-1)} = \sqrt{1 \cdot 6} = \sqrt{6}$.

Наибольшее значение:

$f_{max} = f(3) = \sqrt{3(7-3)} = \sqrt{3 \cdot 4} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: наименьшее значение $\sqrt{6}$, наибольшее значение $2\sqrt{3}$.