Номер 51.9, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.9.1) $f(x) = x^3 + 8, [-3; -1];$

2) $f(x) = -x^3 + 27, [-2; 2].$

51.9.1) 1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 + 8$ на отрезке $[-3; -1]$, будем следовать стандартному алгоритму.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + 8)' = 3x^2$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$3x^2 = 0$

$x = 0$

3. Проверяем, принадлежит ли найденная критическая точка $x=0$ данному отрезку $[-3; -1]$.

Точка $x=0$ не входит в отрезок $[-3; -1]$.

4. Поскольку на отрезке нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах. Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=-1$:

$f(-3) = (-3)^3 + 8 = -27 + 8 = -19$

$f(-1) = (-1)^3 + 8 = -1 + 8 = 7$

5. Сравниваем полученные значения. Наименьшее значение равно -19, а наибольшее равно 7.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $\min_{[-3; -1]} f(x) = -19$, а наибольшее $\max_{[-3; -1]} f(x) = 7$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно -19, а наибольшее значение равно 7.

51.9.1) 2)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -x^3 + 27$ на отрезке $[-2; 2]$, применим тот же алгоритм.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-x^3 + 27)' = -3x^2$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$-3x^2 = 0$

$x = 0$

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x=0$ отрезку $[-2; 2]$.

Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка, то есть в точках $x=-2$ и $x=2$:

$f(-2) = -(-2)^3 + 27 = -(-8) + 27 = 8 + 27 = 35$

$f(0) = -(0)^3 + 27 = 0 + 27 = 27$

$f(2) = -(2)^3 + 27 = -8 + 27 = 19$

5. Сравниваем вычисленные значения: 19, 27 и 35. Наибольшее из них — 35, а наименьшее — 19.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $\min_{[-2; 2]} f(x) = 19$, а наибольшее $\max_{[-2; 2]} f(x) = 35$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 19, а наибольшее значение равно 35.