Номер 51.4, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.4.

1) $f(x) = 2 \sin x$, $[-0.5\pi; \pi];$

2) $f(x) = -2 \cos x$, $[-\pi; 0.5\pi].$

116

1) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = 2 \sin x$ на отрезке $[-0,5\pi; \pi]$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке следующий: найти производную, найти критические точки, вычислить значения функции в критических точках (принадлежащих отрезку) и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2 \sin x)' = 2 \cos x$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$2 \cos x = 0$

$\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Выбираем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

При $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка является левым концом отрезка.

Другие целочисленные значения $n$ дают точки, не входящие в данный отрезок.

4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке $x=\frac{\pi}{2}$ и на концах отрезка $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\pi$.

$f(-\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) = -2$.

$f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

$f(\pi) = 2 \sin(\pi) = 2 \cdot 0 = 0$.

5. Сравниваем полученные значения: -2, 2, 0. Наименьшее значение функции на отрезке равно -2, а наибольшее равно 2.

Множество значений функции на отрезке — это все значения от наименьшего до наибольшего включительно.

Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.

2) Найдем множество значений функции $f(x) = -2 \cos x$ на отрезке $[-\pi; 0,5\pi]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-2 \cos x)' = -2(-\sin x) = 2 \sin x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$2 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Выбираем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

При $n=-1$, $x = -\pi$. Эта точка является левым концом отрезка.

При $n=0$, $x = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

Другие целочисленные значения $n$ дают точки, не входящие в данный отрезок.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-\pi$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

$f(-\pi) = -2 \cos(-\pi) = -2 \cdot (-1) = 2$.

$f(0) = -2 \cos(0) = -2 \cdot 1 = -2$.

$f(\frac{\pi}{2}) = -2 \cos(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 = 0$.

5. Сравниваем полученные значения: 2, -2, 0. Наименьшее значение функции на отрезке равно -2, а наибольшее равно 2.

Множество значений функции на отрезке — это все значения от наименьшего до наибольшего включительно.

Ответ: $E(f) = [-2; 2]$.