Номер 50.24, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.24. Решите неравенство:

1) $-3x^2 - 2x + 8 > 0$;

2) $12x^2 + x - 1 < 0$.

1) Чтобы решить неравенство $-3x^2 - 2x + 8 \ge 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2 - 2x + 8 = 0$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на $-1$:

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=2$, $c=-8$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь вернемся к исходному неравенству $-3x^2 - 2x + 8 \ge 0$. Графиком функции $y = -3x^2 - 2x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a=-3 < 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = \frac{4}{3}$.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-2, \frac{4}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2, \frac{4}{3}]$

2) Чтобы решить неравенство $12x^2 + x - 1 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $12x^2 + x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=12$, $b=1$, $c=-1$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Графиком функции $y = 12x^2 + x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=12 > 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{4}$.

Неравенство $< 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится строго ниже оси абсцисс, то есть между корнями, не включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}, \frac{1}{4})$