Номер 50.19, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.19. Исследуйте на монотонность функцию:

1) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 1}$;

2) $y = \sqrt{x - x^2}$;

3) $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$;

4) $y = \sqrt{2x - x^2}$.

1) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 1}$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Сначала определим область определения функции. Знаменатель $x^2 + x + 1$ не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$, так как дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x^2 - 3x + 1)'(x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x + 1)'}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x - 3)(x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x^3 + 2x^2 + 2x - 3x^2 - 3x - 3) - (2x^3 + x^2 - 6x^2 - 3x + 2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x^3 - x^2 - x - 3) - (2x^3 - 5x^2 - x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - x^2 - x - 3 - 2x^3 + 5x^2 + x - 1}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{4x^2 - 4}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{4(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{4(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = 0$

Так как знаменатель всегда положителен, то $4(x - 1)(x + 1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале.

- При $x \in (-\infty, -1)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-1, 1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (1, +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$ и убывает на промежутке $[-1, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

2) $y = \sqrt{x - x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x(1 - x) \geq 0$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем $x \in [0, 1]$. Итак, $D(y) = [0, 1]$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\sqrt{x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}} \cdot (x - x^2)' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x - x^2}}$.

Производная определена на интервале $(0, 1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1 - 2x}{2\sqrt{x - x^2}} = 0 \Rightarrow 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

Критическая точка $x = 1/2$ делит область определения $(0, 1)$ на два интервала: $(0, 1/2)$ и $(1/2, 1)$.

- При $x \in (0, 1/2)$, $1 - 2x > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.

- При $x \in (1/2, 1)$, $1 - 2x < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

С учетом непрерывности функции на концах отрезка, получаем, что функция возрастает на $[0, 1/2]$ и убывает на $[1/2, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1/2]$, убывает на промежутке $[1/2, 1]$.

3) $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при всех $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \frac{(x^2)'(x^2 + 1) - x^2(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - x^2(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

Найдем критические точки: $y' = 0$.

$\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0, +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$, возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) $y = \sqrt{2x - x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x(2 - x) \geq 0$.

Решая неравенство, получаем $x \in [0, 2]$. Итак, $D(y) = [0, 2]$.

Найдем производную функции:

$y' = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$.

Производная определена на интервале $(0, 2)$.

Найдем критические точки: $y' = 0$.

$\frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ делит область определения $(0, 2)$ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

- При $x \in (0, 1)$, $1 - x > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.

- При $x \in (1, 2)$, $1 - x < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

С учетом непрерывности функции, функция возрастает на $[0, 1]$ и убывает на $[1, 2]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$, убывает на промежутке $[1, 2]$.