Номер 50.14, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.14.1.

1) $f(x) = 2 + \sqrt{4+x}$

2) $f(x) = -3 + \sqrt{2-x}$

3) $f(x) = \sqrt{3+x} - 2$

1) Для функции $f(x) = 2 + \sqrt{4+x}$ найдем область определения и область значений.

Область определения: Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться неравенство $4+x \ge 0$. Решая его, получаем $x \ge -4$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [-4, +\infty)$.

Область значений: Арифметический квадратный корень $\sqrt{4+x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{4+x} \ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 при $x=-4$. Тогда наименьшее значение функции будет $f(-4) = 2 + \sqrt{4-4} = 2$. При увеличении $x$ значение корня, а значит и всей функции, неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции $E(f) = [2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-4, +\infty)$; область значений $E(f) = [2, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = -3 + \sqrt{2-x}$ найдем область определения и область значений.

Область определения: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$. Решая неравенство, получаем $x \le 2$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty, 2]$.

Область значений: Значение корня $\sqrt{2-x}$ всегда неотрицательно: $\sqrt{2-x} \ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 при $x=2$. Тогда наименьшее значение функции будет $f(2) = -3 + \sqrt{2-2} = -3$. При уменьшении $x$ значение корня и функции неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-3, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, 2]$; область значений $E(f) = [-3, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{3+x} - 2$ найдем область определения и область значений.

Область определения: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3+x \ge 0$. Отсюда следует, что $x \ge -3$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [-3, +\infty)$.

Область значений: Квадратный корень $\sqrt{3+x}$ принимает значения $\ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 при $x=-3$. Тогда наименьшее значение функции равно $f(-3) = \sqrt{3-3} - 2 = -2$. С ростом $x$ значение функции неограниченно увеличивается. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-3, +\infty)$; область значений $E(f) = [-2, +\infty)$.