Номер 50.7, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Исследуйте функцию $y = f(x)$ и постройте ее графики (50.7-50.10):

50.7.1) $f(x) = -8x + 1,5;$

2) $f(x) = 1,2x - 10;$

3) $f(x) = -6x^2 + x + 1;$

4) $f(x) = 3x^2 - 7x.$

50.7.1) f(x) = -8x + 1,5

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = -8x + 1,5$ — линейная, её график — прямая линия.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

4. Найдём точки пересечения графика с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = -8 \cdot 0 + 1,5 = 1,5$. Точка пересечения $(0; 1,5)$.

- С осью Ox (нули функции): $y=0$, $-8x + 1,5 = 0$, откуда $8x = 1,5$, $x = \frac{1,5}{8} = \frac{3}{16} = 0,1875$. Точка пересечения $(\frac{3}{16}; 0)$.

5. Монотонность функции. Так как угловой коэффициент $k = -8 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $f(x) > 0$ при $-8x + 1,5 > 0$, то есть $x < \frac{3}{16}$.

- $f(x) < 0$ при $-8x + 1,5 < 0$, то есть $x > \frac{3}{16}$.

Построение графика:

Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмём найденные точки пересечения с осями: $(0; 1,5)$ и $(\frac{3}{16}; 0)$. Соединив эти точки, получим график функции.

Ответ: Функция $f(x) = -8x + 1,5$ — линейная, убывающая на всей числовой прямой. Область определения и область значений — все действительные числа. График — прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(\frac{3}{16}; 0)$.

2) f(x) = 1,2x - 10

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = 1,2x - 10$ — линейная, её график — прямая линия.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

4. Найдём точки пересечения графика с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 1,2 \cdot 0 - 10 = -10$. Точка пересечения $(0; -10)$.

- С осью Ox (нули функции): $y=0$, $1,2x - 10 = 0$, откуда $1,2x = 10$, $x = \frac{10}{1,2} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$. Точка пересечения $(\frac{25}{3}; 0)$.

5. Монотонность функции. Так как угловой коэффициент $k = 1,2 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $f(x) > 0$ при $1,2x - 10 > 0$, то есть $x > \frac{25}{3}$.

- $f(x) < 0$ при $1,2x - 10 < 0$, то есть $x < \frac{25}{3}$.

Построение графика:

Для построения прямой используем две точки, например, точки пересечения с осями: $(0; -10)$ и $(\frac{25}{3}; 0)$, что примерно равно $(8,33; 0)$. Соединяем эти точки прямой линией.

Ответ: Функция $f(x) = 1,2x - 10$ — линейная, возрастающая на всей числовой прямой. Область определения и область значений — все действительные числа. График — прямая, проходящая через точки $(0; -10)$ и $(\frac{25}{3}; 0)$.

3) f(x) = -6x² + x + 1

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = -6x^2 + x + 1$ — квадратичная, её график — парабола.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a = -6 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

- $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-6)} = \frac{1}{12}$.

- $y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{12}) = -6(\frac{1}{12})^2 + \frac{1}{12} + 1 = -6 \cdot \frac{1}{144} + \frac{1}{12} + 1 = -\frac{1}{24} + \frac{2}{24} + \frac{24}{24} = \frac{25}{24}$.

- Вершина параболы: $(\frac{1}{12}; \frac{25}{24})$.

5. Область значений функции $E(f) = (-\infty; \frac{25}{24}]$.

6. Найдём точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox (нули функции): $-6x^2 + x + 1 = 0 \implies 6x^2 - x - 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{1-5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Точки пересечения $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(\frac{1}{2}; 0)$.

7. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; \frac{1}{12}]$ и убывает на $[\frac{1}{12}; +\infty)$.

8. В точке $x = \frac{1}{12}$ функция достигает максимума, $y_{max} = \frac{25}{24}$.

Построение графика:

Строим параболу с ветвями вниз, проходящую через ключевые точки: вершину $(\frac{1}{12}; \frac{25}{24})$, точки пересечения с осями $(-\frac{1}{3}; 0)$, $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(0; 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{1}{12}$.

Ответ: Функция $f(x) = -6x^2 + x + 1$ — квадратичная. График — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(\frac{1}{12}; \frac{25}{24})$. Функция возрастает на $(-\infty; \frac{1}{12}]$ и убывает на $[\frac{1}{12}; +\infty)$. Точки пересечения с осями: $(-\frac{1}{3}; 0)$, $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(0; 1)$.

4) f(x) = 3x² - 7x

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = 3x^2 - 7x$ — квадратичная, её график — парабола.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

- $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$.

- $y_0 = f(x_0) = f(\frac{7}{6}) = 3(\frac{7}{6})^2 - 7(\frac{7}{6}) = 3 \cdot \frac{49}{36} - \frac{49}{6} = \frac{49}{12} - \frac{98}{12} = -\frac{49}{12}$.

- Вершина параболы: $(\frac{7}{6}; -\frac{49}{12})$.

5. Область значений функции $E(f) = [-\frac{49}{12}; +\infty)$.

6. Найдём точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью Ox (нули функции): $3x^2 - 7x = 0 \implies x(3x-7) = 0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = \frac{7}{3}$.

Точки пересечения $(0; 0)$ и $(\frac{7}{3}; 0)$.

7. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; \frac{7}{6}]$ и возрастает на $[\frac{7}{6}; +\infty)$.

8. В точке $x = \frac{7}{6}$ функция достигает минимума, $y_{min} = -\frac{49}{12}$.

Построение графика:

Строим параболу с ветвями вверх, проходящую через ключевые точки: вершину $(\frac{7}{6}; -\frac{49}{12})$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(\frac{7}{3}; 0)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{7}{6}$.

Ответ: Функция $f(x) = 3x^2 - 7x$ — квадратичная. График — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(\frac{7}{6}; -\frac{49}{12})$. Функция убывает на $(-\infty; \frac{7}{6}]$ и возрастает на $[\frac{7}{6}; +\infty)$. Точки пересечения с осями: $(0; 0)$ и $(\frac{7}{3}; 0)$.