Номер 50.4, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.4. Найдите точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с осями координат:

1) $f(x) = 7x^2 + x;$

2) $f(x) = -x^4 + 64;$

3) $f(x) = -5x^3 - 20x;$

4) $f(x) = -3x^5 + 5x^3.$

1) $f(x) = 7x^2 + x$

Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$), подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = f(0) = 7 \cdot 0^2 + 0 = 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ – $(0, 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс ($Ox$), решим уравнение $f(x) = 0$: $7x^2 + x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(7x+1)=0$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1/7$. Соответствующие точки пересечения с осью $Ox$ – $(0, 0)$ и $(-1/7, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-1/7, 0)$.

2) $f(x) = -x^4 + 64$

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = f(0) = -0^4 + 64 = 64$. Точка пересечения – $(0, 64)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-x^4 + 64 = 0$, откуда $x^4 = 64$. Так как $x^2$ должно быть неотрицательным, $x^2 = \sqrt{64} = 8$. Тогда $x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$. Точки пересечения – $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$.

Ответ: $(0, 64)$, $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$.

3) $f(x) = -5x^3 - 20x$

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = f(0) = -5 \cdot 0^3 - 20 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения – $(0, 0)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-5x^3 - 20x = 0$. Вынесем $-5x$ за скобки: $-5x(x^2 + 4) = 0$. Первый множитель равен нулю при $x=0$. Второй множитель $x^2+4$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$), поэтому в ноль не обращается. Следовательно, есть только один действительный корень $x=0$. Единственная точка пересечения – $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $f(x) = -3x^5 + 5x^3$

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = f(0) = -3 \cdot 0^5 + 5 \cdot 0^3 = 0$. Точка пересечения – $(0, 0)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-3x^5 + 5x^3 = 0$. Вынесем $x^3$ за скобки: $x^3(-3x^2 + 5) = 0$. Уравнение имеет решения, когда $x^3=0$ или $-3x^2+5=0$. Из первого уравнения получаем $x=0$. Из второго уравнения: $3x^2=5$, $x^2=5/3$, откуда $x = \pm\sqrt{5/3}$. Точки пересечения – $(0, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$ и $(\sqrt{5/3}, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$.