Номер 49.17, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.17. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = 2 + x^2 - 5x^4;$

2) $y = \frac{2x^3}{1-x^2};$

3) $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}.$

1) $y = 2 + x² - 5x⁴$

Данная функция является многочленом. Область определения многочлена — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты.Поскольку функция определена и непрерывна на всей числовой оси, у нее нет точек разрыва, и, следовательно, нет вертикальных асимптот.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты.Наклонная асимптота имеет вид $y = kx + b$. Найдем коэффициенты $k$ и $b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + x^2 - 5x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2}{x} + x - 5x^3)$

Этот предел не является конечным числом (он равен $\mp\infty$). Следовательно, наклонных асимптот у графика функции нет. Так как горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной при $k=0$, то и горизонтальных асимптот тоже нет. Это можно проверить и напрямую:

$\lim_{x \to \pm\infty} (2 + x^2 - 5x^4) = -\infty$

Пределы не являются конечными числами, значит, горизонтальных асимптот нет.

Ответ: асимптот нет.

2) $y = \frac{2x³}{1 - x²}$

Это дробно-рациональная функция.

Вертикальные асимптоты.Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$1 - x² \neq 0 \implies x² \neq 1 \implies x \neq \pm 1$

Точки $x = 1$ и $x = -1$ являются точками разрыва. Исследуем поведение функции вблизи этих точек с помощью односторонних пределов.

При $x \to 1$:

$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{2}{0^-} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{2}{0^+} = +\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = 1$ — вертикальная асимптота.

При $x \to -1$:

$\lim_{x \to -1^+} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^-} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = -1$ — вертикальная асимптота.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты.Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), значит, у графика есть наклонная асимптота вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³}{x(1 - x²)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³}{x - x³} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³}{-x³} = -2$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2x³}{1 - x²} - (-2)x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2x³}{1 - x²} + 2x)$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³ + 2x(1 - x²)}{1 - x²} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³ + 2x - 2x³}{1 - x²} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{1 - x²} = 0$

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = -2x$.

Ответ: вертикальные асимптоты $x=1$ и $x=-1$; наклонная асимптота $y=-2x$.

3) $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$

Приведем функцию к виду одной дроби: $y = \frac{25 - x²}{5x}$.

Вертикальные асимптоты.Найдем область определения. Знаменатель $5x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Точка $x=0$ является точкой разрыва.

Исследуем поведение функции вблизи этой точки:

$\lim_{x \to 0^+} (\frac{5}{x} - \frac{x}{5}) = +\infty - 0 = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} (\frac{5}{x} - \frac{x}{5}) = -\infty - 0 = -\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = 0$ (ось ординат) — вертикальная асимптота.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты.Используем представление $y = \frac{25 - x²}{5x}$. Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), значит, есть наклонная асимптота $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{25 - x²}{5x \cdot x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{25 - x²}{5x²} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{25}{5x²} - \frac{x²}{5x²}) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{5}{x²} - \frac{1}{5}) = 0 - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5}$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} ((\frac{5}{x} - \frac{x}{5}) - (-\frac{1}{5})x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{5}{x} - \frac{x}{5} + \frac{x}{5}) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x} = 0$

Уравнение наклонной асимптоты: $y = -\frac{1}{5}x$ или $y = -\frac{x}{5}$.

Это можно было увидеть и из исходного вида функции $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$. При $x \to \pm\infty$ слагаемое $\frac{5}{x}$ стремится к нулю, и график функции приближается к прямой $y = -\frac{x}{5}$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$; наклонная асимптота $y = -\frac{x}{5}$.