Номер 49.16, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.16. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4;$

2) $y = -\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x};$

3) $y = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}.$

1) Для нахождения точек максимума и минимума функции $y = 2 + 2x^2 - x^4$, необходимо найти её производную и критические точки.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (2 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Критическими точками являются $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

- Если $x < -1$ (например, $x=-2$), то $y'(-2) = 4(-2)(1 - (-2)^2) = -8(-3) = 24 > 0$, функция возрастает.

- Если $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), то $y'(-0.5) = 4(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -2(0.75) = -1.5 < 0$, функция убывает.

- Если $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), то $y'(0.5) = 4(0.5)(1 - 0.5^2) = 2(0.75) = 1.5 > 0$, функция возрастает.

- Если $x > 1$ (например, $x=2$), то $y'(2) = 4(2)(1 - 2^2) = 8(-3) = -24 < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x = -1$ — точка максимума.

При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x = 0$ — точка минимума.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

Ответ: $x_{max} = -1$, $x_{max} = 1$; $x_{min} = 0$.

2) Дана функция $y = -\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x}$.

Область определения функции: $x \ne 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Представим функцию в виде $y = -x^{-3} + 3x^{-1}$ и найдем производную:

$y' = (-x^{-3} + 3x^{-1})' = 3x^{-4} - 3x^{-2} = \frac{3}{x^4} - \frac{3}{x^2}$.

Приведем производную к общему знаменателю:

$y' = \frac{3 - 3x^2}{x^4}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$3 - 3x^2 = 0$

$3(1 - x^2) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$. Точка $x=0$ не является критической, так как не входит в область определения функции.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак производной $y'$ совпадает со знаком числителя $(3 - 3x^2)$, так как знаменатель $x^4$ всегда положителен.

- Если $x < -1$ (например, $x=-2$), то $3 - 3(-2)^2 = -9 < 0$, функция убывает.

- Если $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), то $3 - 3(-0.5)^2 = 2.25 > 0$, функция возрастает.

- Если $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), то $3 - 3(0.5)^2 = 2.25 > 0$, функция возрастает.

- Если $x > 1$ (например, $x=2$), то $3 - 3(2)^2 = -9 < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x = -1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, $x = -1$ — точка минимума.

При переходе через точку $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

Ответ: $x_{max} = 1$; $x_{min} = -1$.

3) Дана функция $y = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}$.

Область определения функции: $x \ne 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (\frac{x}{4} - \frac{4}{x})' = (\frac{1}{4}x - 4x^{-1})' = \frac{1}{4} - 4(-1)x^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{4}{x^2}$.

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{x^2 + 16}{4x^2}$.

Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{x^2 + 16}{4x^2} = 0$.

Числитель $x^2 + 16$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 16 \ge 16$. Таким образом, уравнение не имеет действительных корней. Критических точек, в которых производная равна нулю, нет.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из области определения числитель $x^2 + 16$ положителен, и знаменатель $4x^2$ также положителен. Следовательно, $y' > 0$ на всей области определения.

Так как производная всегда положительна, функция монотонно возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

Ответ: точек максимума и минимума нет.