Номер 49.11, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.11. Постройте график функции и запишите ее промежутки выпуклости и точки перегиба:

1) $y = |\sin x|$;

2) $y = |\cos 0,5x|$;

3) $y = |\operatorname{tg} 2x|$;

4) $y = |\operatorname{ctg} 0,5x|$.

1) $y = |\sin x|$

Построение графика: График функции $y=|\sin x|$ получается из графика $y=\sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$) той части графика, которая лежит ниже этой оси. График представляет собой последовательность одинаковых "арок". Функция является четной и периодической с основным периодом $T=\pi$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Для исследования функции на выпуклость найдем ее вторую производную. Функцию можно записать кусочно: $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая на интервалах, где функция дважды дифференцируема:

1. На интервалах, где $\sin x > 0$ (например, $(0, \pi)$), функция имеет вид $y = \sin x$. Ее вторая производная $y'' = -\sin x$. Поскольку на этих интервалах $\sin x > 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на этих интервалах функция выпукла вверх (вогнута).

2. На интервалах, где $\sin x < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$), функция имеет вид $y = -\sin x$. Ее вторая производная $y'' = -(-\sin x) = \sin x$. Поскольку на этих интервалах $\sin x < 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на этих интервалах функция также выпукла вверх (вогнута).

Таким образом, функция является выпуклой вверх на всех интервалах вида $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$. В точках $x = \pi k$ производная не существует (график имеет излом). Так как направление выпуклости при переходе через эти точки не меняется, они не являются точками перегиба.

Ответ: Функция выпукла вверх на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.

2) $y = |\cos(0,5x)|$

Построение графика: График функции $y = |\cos(0,5x)|$ получается из графика $y = \cos(0,5x)$ (косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси $Ox$) путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ той части графика, которая лежит ниже этой оси. Период функции $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$, а период функции $y=|\cos(0,5x)|$ равен $2\pi$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную. $y = \begin{cases} \cos(0,5x), & \text{если } \cos(0,5x) \ge 0 \\ -\cos(0,5x), & \text{если } \cos(0,5x) < 0 \end{cases}$

1. На интервалах, где $\cos(0,5x) > 0$ (например, $(-\pi, \pi)$), имеем $y = \cos(0,5x)$. Вторая производная $y'' = -0,25\cos(0,5x)$. Так как $\cos(0,5x) > 0$, то $y'' < 0$. Функция выпукла вверх.

2. На интервалах, где $\cos(0,5x) < 0$ (например, $(\pi, 3\pi)$), имеем $y = -\cos(0,5x)$. Вторая производная $y'' = -(-0,25\cos(0,5x)) = 0,25\cos(0,5x)$. Так как $\cos(0,5x) < 0$, то $y'' < 0$. Функция также выпукла вверх.

Функция выпукла вверх на всех интервалах между точками, где она обращается в ноль. Нули функции: $0,5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Значит, интервалы выпуклости вверх: $((2k-1)\pi, (2k+1)\pi)$. В точках $x = (2k+1)\pi$ график имеет изломы, но направление выпуклости не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: Функция выпукла вверх на каждом из интервалов $((2k-1)\pi, (2k+1)\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.

3) $y = |\text{tg}(2x)|$

Построение графика: График функции $y=|\text{tg}(2x)|$ получается из графика $y=\text{tg}(2x)$ (тангенсоида, сжатая в 2 раза вдоль оси $Ox$) путем отражения отрицательной части графика относительно оси $Ox$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $2x = \frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$. Период функции $T=\frac{\pi}{2}$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную. $y = \begin{cases} \text{tg}(2x), & \text{если } \text{tg}(2x) \ge 0 \\ -\text{tg}(2x), & \text{если } \text{tg}(2x) < 0 \end{cases}$

1. На интервалах, где $\text{tg}(2x) > 0$ (например, $(0, \frac{\pi}{4})$), $y = \text{tg}(2x)$. Вторая производная $y'' = (2\sec^2(2x))' = 8\text{tg}(2x)\sec^2(2x)$. Так как $\text{tg}(2x) > 0$ и $\sec^2(2x)>0$, то $y''>0$. Функция выпукла вниз.

2. На интервалах, где $\text{tg}(2x) < 0$ (например, $(-\frac{\pi}{4}, 0)$), $y = -\text{tg}(2x)$. Вторая производная $y'' = -(8\text{tg}(2x)\sec^2(2x))$. Так как $\text{tg}(2x) < 0$, то $y''>0$. Функция также выпукла вниз.

Таким образом, на всей области определения функция является выпуклой вниз. Область определения состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2})$. В точках $x = \frac{\pi k}{2}$, где $\text{tg}(2x)=0$, график имеет изломы. Направление выпуклости не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: Функция выпукла вниз на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.

4) $y = |\text{ctg}(0,5x)|$

Построение графика: График функции $y=|\text{ctg}(0,5x)|$ получается из графика $y=\text{ctg}(0,5x)$ (котангенсоида, растянутая в 2 раза вдоль оси $Ox$) путем отражения отрицательной части графика относительно оси $Ox$. Функция имеет вертикальные асимптоты в точках $0,5x = \pi k \Rightarrow x = 2\pi k$. Период функции $T=2\pi$.

Промежутки выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную. $y = \begin{cases} \text{ctg}(0,5x), & \text{если } \text{ctg}(0,5x) \ge 0 \\ -\text{ctg}(0,5x), & \text{если } \text{ctg}(0,5x) < 0 \end{cases}$

1. На интервалах, где $\text{ctg}(0,5x) > 0$ (например, $(0, \pi)$), $y = \text{ctg}(0,5x)$. Вторая производная $y'' = (-0,5\csc^2(0,5x))' = 0,5\text{ctg}(0,5x)\csc^2(0,5x)$. Так как $\text{ctg}(0,5x)>0$ и $\csc^2(0,5x)>0$, то $y''>0$. Функция выпукла вниз.

2. На интервалах, где $\text{ctg}(0,5x) < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$), $y = -\text{ctg}(0,5x)$. Вторая производная $y'' = -(0,5\text{ctg}(0,5x)\csc^2(0,5x))$. Так как $\text{ctg}(0,5x) < 0$, то $y''>0$. Функция также выпукла вниз.

Таким образом, на всей области определения функция является выпуклой вниз. Область определения состоит из интервалов $(2\pi k, 2\pi(k+1))$. В точках $x = \pi + 2\pi k$, где $\text{ctg}(0,5x)=0$, график имеет изломы. Направление выпуклости не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: Функция выпукла вниз на каждом из интервалов своей области определения $(2\pi k, 2\pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$. Точек перегиба нет.