Номер 49.7, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.7. Дан схематический график функции (рис. 49.5).

По графику функции найдите промежутки его выпуклости вниз и координаты точек перегиба.

Рис. 49.4

Рис. 49.5

Для нахождения промежутков выпуклости вниз и точек перегиба необходимо проанализировать поведение кривой на графике (рис. 49.5).

Промежутки выпуклости вниз

Функция считается выпуклой вниз (или вогнутой) на том промежутке, где ее график изгибается вверх, напоминая по форме чашу. На таких участках любая касательная к графику расположена ниже самого графика. Чтобы определить эти промежутки, необходимо найти точки, в которых направление выпуклости меняется, то есть точки перегиба.

На представленном графике видно, что функция выпукла вниз на двух участках: слева от первой точки перегиба и справа от второй. Визуально оценивая график, мы можем определить примерные абсциссы точек перегиба. Они находятся там, где кривая меняет свой изгиб с «чаши» на «купол» и наоборот. Это происходит примерно в точках с абсциссами $x \approx -0.7$ и $x \approx 0.7$.

Таким образом, функция является выпуклой вниз на промежутках, где $x$ меньше абсциссы первой точки перегиба и где $x$ больше абсциссы второй точки перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутках $(-\infty; -0.7]$ и $[0.7; +\infty)$.

Координаты точек перегиба

Точка перегиба — это точка на графике, в которой происходит смена направления выпуклости функции. На данном графике можно выделить две такие точки, симметричные относительно оси ординат.

Первая точка перегиба находится между локальным минимумом (при $x = -1$) и локальным максимумом (при $x = 0$). В этой точке выпуклость вниз сменяется на выпуклость вверх. Как мы уже оценили, абсцисса этой точки примерно равна $x_1 \approx -0.7$. Найдем соответствующую ординату по графику. Она составляет примерно $y_1 \approx -0.5$.

Вторая точка перегиба симметрична первой относительно оси $y$. В ней выпуклость вверх сменяется на выпуклость вниз. Ее абсцисса примерно равна $x_2 \approx 0.7$, а ордината, как и у первой точки, примерно равна $y_2 \approx -0.5$.

Ответ: координаты точек перегиба примерно $(-0.7; -0.5)$ и $(0.7; -0.5)$.