Вопросы, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Любая ли критическая точка является точкой перегиба?

2. Имеет ли функция точку перегиба, если ее вторая производная не равна нулю?

1. Любая ли критическая точка является точкой перегиба?

Нет, не любая. Эти два понятия связаны с разными характеристиками функции и, в общем случае, не совпадают.

Критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой её первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$) или не существует. Критические точки являются кандидатами на точки локального экстремума (минимума или максимума).

Точка перегиба — это точка, в которой график функции меняет направление своей выпуклости (например, с выпуклости вверх на выпуклость вниз). Для дважды дифференцируемой функции необходимым условием для точки перегиба $x_0$ является равенство второй производной нулю ($f''(x_0) = 0$), а достаточным — смена знака второй производной при переходе через эту точку.

Рассмотрим контрпример: функцию $f(x) = x^4$.

1. Найдем ее первую производную: $f'(x) = 4x^3$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $4x^3 = 0 \implies x = 0$. Таким образом, $x=0$ является критической точкой. В данном случае это точка локального минимума.

3. Найдем вторую производную: $f''(x) = 12x^2$.

4. Проверим, является ли $x=0$ точкой перегиба. Подставим значение в вторую производную: $f''(0) = 12 \cdot 0^2 = 0$. Необходимое условие выполнено. Однако, проверим знак второй производной в окрестности точки $x=0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ всегда, то $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ как слева, так и справа от нуля. Знак второй производной не меняется, значит, направление выпуклости сохраняется. Следовательно, $x=0$ не является точкой перегиба.

Ответ: Нет, критическая точка не всегда является точкой перегиба.

2. Имеет ли функция точку перегиба, если ее вторая производная не равна нулю?

Да, функция может иметь точку перегиба, даже если её вторая производная ни в одной точке области определения не равна нулю.

Точка перегиба $x_0$ существует, если в этой точке меняется знак второй производной $f''(x)$, то есть меняется направление выпуклости графика. Это может произойти в двух случаях:

1. Вторая производная в этой точке равна нулю: $f''(x_0) = 0$.

2. Вторая производная в этой точке не существует.

Вопрос подразумевает ситуацию, когда $f''(x) \ne 0$ для всех $x$, где она определена. Это не исключает возможности, что в какой-то точке $f''(x)$ может быть не определена, и именно эта точка может оказаться точкой перегиба.

Рассмотрим пример: функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$ (или $f(x) = x^{1/3}$).

1. Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.

2. Найдем вторую производную: $f''(x) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-5/3} = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$.

3. Очевидно, что $f''(x)$ никогда не обращается в ноль, так как ее числитель равен -2.

4. Однако в точке $x=0$ вторая производная не существует (знаменатель обращается в ноль). Проверим знак $f''(x)$ в окрестности этой точки:

- Если $x > 0$, то $\sqrt[3]{x^5} > 0$, и $f''(x) < 0$ (график выпуклый вверх).

- Если $x < 0$, то $\sqrt[3]{x^5} < 0$, и $f''(x) > 0$ (график выпуклый вниз).

Поскольку при переходе через точку $x=0$ знак второй производной меняется, то $x=0$ является точкой перегиба, несмотря на то что $f''(x)$ нигде не равна нулю.

Ответ: Да, может, если в точке перегиба вторая производная не существует.