Номер 49.1, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте схематический график функции $y = f(x)$ и запишите промежутки выпуклости вверх и вниз графиков функций (49.1–49.2):

49.1. 1) $y = \sin0,5x$; 2) $y = \cos2x$; 3) $y = x^3$; 4) $y = x^2 + 4x$.

1) $y = \sin(0,5x)$

Для определения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции найдем ее вторую производную.

Первая производная: $y' = (\sin(0,5x))' = \cos(0,5x) \cdot (0,5x)' = 0,5\cos(0,5x)$.

Вторая производная: $y'' = (0,5\cos(0,5x))' = 0,5(-\sin(0,5x)) \cdot (0,5x)' = -0,25\sin(0,5x)$.

График функции выпуклый вверх (вогнутый), когда $y'' < 0$.

$-0,25\sin(0,5x) < 0 \implies \sin(0,5x) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < 0,5x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $4\pi n < x < 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции выпуклый вниз (выпуклый), когда $y'' > 0$.

$-0,25\sin(0,5x) > 0 \implies \sin(0,5x) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < 0,5x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $2\pi + 4\pi n < x < 4\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Схематический график функции представляет собой синусоиду с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$. Точки перегиба, где меняется направление выпуклости, находятся при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(4\pi n, 2\pi + 4\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(2\pi + 4\pi n, 4\pi + 4\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos(2x)$

Найдем вторую производную функции.

Первая производная: $y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Вторая производная: $y'' = (-2\sin(2x))' = -2\cos(2x) \cdot (2x)' = -4\cos(2x)$.

График функции выпуклый вверх (вогнутый), когда $y'' < 0$.

$-4\cos(2x) < 0 \implies \cos(2x) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции выпуклый вниз (выпуклый), когда $y'' > 0$.

$-4\cos(2x) > 0 \implies \cos(2x) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Схематический график функции представляет собой косинусоиду с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Точки перегиба находятся при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = x^3$

Найдем вторую производную функции.

Первая производная: $y' = (x^3)' = 3x^2$.

Вторая производная: $y'' = (3x^2)' = 6x$.

График функции выпуклый вверх, когда $y'' < 0 \implies 6x < 0 \implies x < 0$.

График функции выпуклый вниз, когда $y'' > 0 \implies 6x > 0 \implies x > 0$.

При $x = 0$ вторая производная равна нулю, это точка перегиба. Схематический график – кубическая парабола, проходящая через начало координат. Слева от оси $Oy$ график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз.

Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty, 0)$, выпуклый вниз на промежутке $(0, +\infty)$.

4) $y = x^2 + 4x$

Найдем вторую производную функции.

Первая производная: $y' = (x^2 + 4x)' = 2x + 4$.

Вторая производная: $y'' = (2x + 4)' = 2$.

Так как $y'' = 2 > 0$ для всех значений $x$, график функции является выпуклым вниз на всей своей области определения.

Промежутков выпуклости вверх нет.

Схематический график – парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_v = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$. Вершина в точке $(-2, -4)$.

Ответ: график функции выпуклый вниз на промежутке $(-\infty, +\infty)$, промежутков выпуклости вверх нет.