Номер 48.20, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.20. Найдите экстремумы функции:

1) $y = \frac{x^2 - x - 1}{x^2 - x - 2}$;

2) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$;

3) $y = \frac{x^2 + 2}{x^2 + x - 2}$.

1) Для функции $y = \frac{x^2 - x - 1}{x^2 - x - 2}$ найдем экстремумы.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - x - 2 \neq 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ это $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x^2 - x - 1)'(x^2 - x - 2) - (x^2 - x - 1)(x^2 - x - 2)'}{(x^2 - x - 2)^2}$

$y' = \frac{(2x - 1)(x^2 - x - 2) - (x^2 - x - 1)(2x - 1)}{(x^2 - x - 2)^2}$

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$y' = \frac{(2x - 1)((x^2 - x - 2) - (x^2 - x - 1))}{(x^2 - x - 2)^2} = \frac{(2x - 1)(-1)}{(x^2 - x - 2)^2} = \frac{1 - 2x}{(x^2 - x - 2)^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.

Эта точка принадлежит области определения функции.

Исследуем знак производной в окрестности точки $x = 1/2$. Знаменатель $(x^2 - x - 2)^2$ всегда положителен в области определения, поэтому знак производной определяется знаком числителя $1 - 2x$.

При $x < 1/2$, $1 - 2x > 0$, следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

При $x > 1/2$, $1 - 2x < 0$, следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = 1/2$, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1}{(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{4}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4}} = \frac{-5/4}{-9/4} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $y_{max} = \frac{5}{9}$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ найдем экстремумы.

Область определения: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем производную:

$y' = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.

Точка $x = 0$ принадлежит области определения.

Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2-1)^2$ положителен, поэтому знак $y'$ определяется знаком числителя $-4x$.

При $x < 0$, $-4x > 0$, следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

При $x > 0$, $-4x < 0$, следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в точке максимума:

$y_{max} = y(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 - 1} = -1$.

Ответ: $y_{max} = -1$.

3) Для функции $y = \frac{x^2 + 2}{x^2 + x - 2}$ найдем экстремумы.

Область определения: $x^2 + x - 2 \neq 0 \implies (x+2)(x-1) \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем производную:

$y' = \frac{(x^2 + 2)'(x^2 + x - 2) - (x^2 + 2)(x^2 + x - 2)'}{(x^2 + x - 2)^2}$

$y' = \frac{2x(x^2 + x - 2) - (x^2 + 2)(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2} = \frac{2x^3 + 2x^2 - 4x - (2x^3 + x^2 + 4x + 2)}{(x^2 + x - 2)^2}$

$y' = \frac{x^2 - 8x - 2}{(x^2 + x - 2)^2}$

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$x^2 - 8x - 2 = 0$

$D = (-8)^2 - 4(1)(-2) = 64 + 8 = 72 = 36 \cdot 2$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 3\sqrt{2}$.

Обе точки, $x_1 = 4 - 3\sqrt{2} \approx -0.24$ и $x_2 = 4 + 3\sqrt{2} \approx 8.24$, принадлежат области определения.

Знак производной определяется знаком числителя $f(x) = x^2 - 8x - 2$. Это парабола с ветвями вверх.

Следовательно, $y' > 0$ на интервалах $(-\infty, 4 - 3\sqrt{2})$ и $(4 + 3\sqrt{2}, +\infty)$, и $y' < 0$ на интервале $(4 - 3\sqrt{2}, 4 + 3\sqrt{2})$.

В точке $x = 4 - 3\sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума.

В точке $x = 4 + 3\sqrt{2}$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума.

Найдем значения экстремумов. Для корня $x_0$ уравнения $x^2 - 8x - 2 = 0$ верно $x_0^2 = 8x_0 + 2$.

$y(x_0) = \frac{x_0^2 + 2}{x_0^2 + x_0 - 2} = \frac{(8x_0 + 2) + 2}{(8x_0 + 2) + x_0 - 2} = \frac{8x_0 + 4}{9x_0}$.

$y_{max} = y(4 - 3\sqrt{2}) = \frac{8(4 - 3\sqrt{2}) + 4}{9(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{32 - 24\sqrt{2} + 4}{36 - 27\sqrt{2}} = \frac{36 - 24\sqrt{2}}{36 - 27\sqrt{2}} = \frac{12(3 - 2\sqrt{2})}{9(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{4(3 - 2\sqrt{2})}{3(4 - 3\sqrt{2})}$.

Рационализируем знаменатель: $\frac{4(3 - 2\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})}{3(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{4(12 + 9\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 12)}{3(16 - 18)} = \frac{4\sqrt{2}}{3(-2)} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$y_{min} = y(4 + 3\sqrt{2}) = \frac{8(4 + 3\sqrt{2}) + 4}{9(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{36 + 24\sqrt{2}}{36 + 27\sqrt{2}} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{9(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{4(3 + 2\sqrt{2})}{3(4 + 3\sqrt{2})}$.

Рационализируем знаменатель: $\frac{4(3 + 2\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2})}{3(4 + 3\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{4(12 - 9\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 12)}{3(16 - 18)} = \frac{4(-\sqrt{2})}{3(-2)} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $y_{max} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $y_{min} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.