Номер 48.14, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите экстремумы функции $y = f(x)$ (48.14–48.15):

48.14.1) $f(x) = \frac{2}{x} + x^2$;

2) $f(x) = -\frac{3}{x} - 3x^2$;

3) $f(x) = -\frac{2}{x} - \frac{x^2}{2}$.

1) $f(x) = \frac{2}{x} + x^2$

1. Найдём область определения функции. Так как в знаменателе находится переменная $x$, то $x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции для определения точек экстремума.

$f'(x) = (\frac{2}{x} + x^2)' = (2x^{-1} + x^2)' = -2x^{-2} + 2x = -\frac{2}{x^2} + 2x$.

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки.

$f'(x) = 0$

$-\frac{2}{x^2} + 2x = 0$

$2x = \frac{2}{x^2}$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается стационарной точкой $x=1$ и точкой разрыва $x=0$. Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

$f'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^2}$. Знак производной определяется знаком выражения $2x^3 - 2$.

- На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, $x=1$ является точкой локального минимума.

6. Вычислим значение функции в этой точке, чтобы найти минимум функции.

$y_{min} = f(1) = \frac{2}{1} + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $y_{min} = f(1) = 3$.

2) $f(x) = -\frac{3}{x} - 3x^2$

1. Область определения функции: $x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

$f'(x) = (-\frac{3}{x} - 3x^2)' = (-3x^{-1} - 3x^2)' = 3x^{-2} - 6x = \frac{3}{x^2} - 6x$.

3. Найдём стационарные точки.

$f'(x) = 0$

$\frac{3}{x^2} - 6x = 0$

$\frac{3}{x^2} = 6x$

$3 = 6x^3$

$x^3 = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

4. Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{3 - 6x^3}{x^2}$. Знак зависит от числителя $3 - 6x^3$.

- На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \frac{1}{\sqrt[3]{2}})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума.

6. Вычислим значение максимума функции.

$y_{max} = f(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = -\frac{3}{1/\sqrt[3]{2}} - 3(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 = -3\sqrt[3]{2} - \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$.

Приведём выражение к общему знаменателю:

$y_{max} = \frac{-3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4} - 3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{-3\sqrt[3]{8} - 3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{-3 \cdot 2 - 3}{\sqrt[3]{4}} = -\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$.

Ответ: $y_{max} = f(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = -\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$.

3) $f(x) = -\frac{2}{x} - \frac{x^2}{2}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

$f'(x) = (-\frac{2}{x} - \frac{x^2}{2})' = (-2x^{-1} - \frac{1}{2}x^2)' = 2x^{-2} - x = \frac{2}{x^2} - x$.

3. Найдём стационарные точки.

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x^2} - x = 0$

$\frac{2}{x^2} = x$

$x^3 = 2$

$x = \sqrt[3]{2}$.

4. Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{2 - x^3}{x^2}$. Знак зависит от числителя $2 - x^3$.

- На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \sqrt[3]{2})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(\sqrt[3]{2}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x = \sqrt[3]{2}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума.

6. Вычислим значение максимума функции.

$y_{max} = f(\sqrt[3]{2}) = -\frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{(\sqrt[3]{2})^2}{2} = -\frac{2}{2^{1/3}} - \frac{2^{2/3}}{2} = -2^{1-1/3} - 2^{2/3-1} = -2^{2/3} - 2^{-1/3}$.

Преобразуем выражение:

$y_{max} = -\sqrt[3]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2} + 1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\sqrt[3]{8} + 1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{2 + 1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$.

Ответ: $y_{max} = f(\sqrt[3]{2}) = -\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$.