Номер 48.7, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.7. Найдите критические точки функции $y = f(x)$. Выясните, какие из этих точек являются: 1) точками минимума; 2) точками максимума:

1) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$;

2) $f(x) = -x^4 + 0.5x^2 + 1$;

3) $f(x) = -2x^4 + x^2 - 1$.

Для нахождения критических точек функции и определения их типа (минимум или максимум) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции $f'(x)$.

2. Решить уравнение $f'(x) = 0$. Корни этого уравнения (а также точки, где производная не существует) являются критическими точками.

3. Найти вторую производную $f''(x)$.

4. Подставить каждую критическую точку $x_0$ во вторую производную. Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка максимума. Если $f''(x_0) = 0$, требуется дополнительное исследование (например, с помощью первой производной).

1) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

Находим первую производную:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.

Определяем знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(-1) > 0$, то $x = -1$ является точкой минимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4$. Так как $f''(0) < 0$, то $x = 0$ является точкой максимума.

Для $x = 1$: $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(1) > 0$, то $x = 1$ является точкой минимума.

Ответ: критические точки: $x = -1, 0, 1$; точки минимума: $x = -1$ и $x = 1$; точка максимума: $x = 0$.

2) $f(x) = -x^4 + 0,5x^2 + 1$

Находим первую производную:

$f'(x) = (-x^4 + 0,5x^2 + 1)' = -4x^3 + x$.

Приравниваем производную к нулю:

$-4x^3 + x = 0$

$x(1 - 4x^2) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ или $1 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 0,5$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -0,5$, $x_3 = 0,5$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (-4x^3 + x)' = -12x^2 + 1$.

Определяем знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -0,5$: $f''(-0,5) = -12(-0,5)^2 + 1 = -12(0,25) + 1 = -3 + 1 = -2$. Так как $f''(-0,5) < 0$, то $x = -0,5$ является точкой максимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = -12(0)^2 + 1 = 1$. Так как $f''(0) > 0$, то $x = 0$ является точкой минимума.

Для $x = 0,5$: $f''(0,5) = -12(0,5)^2 + 1 = -12(0,25) + 1 = -3 + 1 = -2$. Так как $f''(0,5) < 0$, то $x = 0,5$ является точкой максимума.

Ответ: критические точки: $x = -0,5, 0, 0,5$; точка минимума: $x = 0$; точки максимума: $x = -0,5$ и $x = 0,5$.

3) $f(x) = -2x^4 + x^2 - 1$

Находим первую производную:

$f'(x) = (-2x^4 + x^2 - 1)' = -8x^3 + 2x$.

Приравниваем производную к нулю:

$-8x^3 + 2x = 0$

$2x(1 - 4x^2) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ или $1 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 0,5$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -0,5$, $x_3 = 0,5$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (-8x^3 + 2x)' = -24x^2 + 2$.

Определяем знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -0,5$: $f''(-0,5) = -24(-0,5)^2 + 2 = -24(0,25) + 2 = -6 + 2 = -4$. Так как $f''(-0,5) < 0$, то $x = -0,5$ является точкой максимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = -24(0)^2 + 2 = 2$. Так как $f''(0) > 0$, то $x = 0$ является точкой минимума.

Для $x = 0,5$: $f''(0,5) = -24(0,5)^2 + 2 = -24(0,25) + 2 = -6 + 2 = -4$. Так как $f''(0,5) < 0$, то $x = 0,5$ является точкой максимума.

Ответ: критические точки: $x = -0,5, 0, 0,5$; точка минимума: $x = 0$; точки максимума: $x = -0,5$ и $x = 0,5$.