Номер 48.5, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.5.
1) $f(x) = x^3 - 27$;
3) $f(x) = x^3 + 3x^2$;
2) $f(x) = -x^3 - 8$;
4) $f(x) = -x^3 + 12x$.

1) Для исследования функции $f(x) = x^3 - 27$ на монотонность и экстремумы, найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (x^3 - 27)' = 3x^2$.

Далее найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 = 0$

$x = 0$

Это единственная критическая точка. Определим знаки производной на интервалах, на которые эта точка разбивает числовую ось: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то производная $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ на всей области определения. Это означает, что функция не убывает.

На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция также возрастает.

Так как при переходе через точку $x=0$ производная не меняет свой знак, в этой точке экстремума нет. Функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

2) Исследуем функцию $f(x) = -x^3 - 8$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 - 8)' = -3x^2$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$-3x^2 = 0$

$x = 0$

Единственная критическая точка — $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Поскольку $x^2 \geq 0$, то $f'(x) = -3x^2 \leq 0$ для всех $x$. Это означает, что функция не возрастает.

На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция также убывает.

При переходе через точку $x=0$ знак производной не меняется, поэтому в этой точке нет экстремума. Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 6x = 0$

$3x(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

- Для $x \in (-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

- Для $x \in (-2; 0)$, возьмем $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.

- Для $x \in (0; +\infty)$, возьмем $x=1$: $f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9 > 0$. Функция возрастает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $f_{max} = f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значение функции в этой точке: $f_{min} = f(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$; точка максимума $x_{max} = -2$, $y_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

4) Исследуем функцию $f(x) = -x^3 + 12x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 + 12x)' = -3x^2 + 12$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

- Для $x \in (-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $f'(-3) = -3(-3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0$. Функция убывает.

- Для $x \in (-2; 2)$, возьмем $x=0$: $f'(0) = -3(0)^2 + 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.

- Для $x \in (2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $f'(3) = -3(3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значение функции: $f_{min} = f(-2) = -(-2)^3 + 12(-2) = 8 - 24 = -16$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значение функции: $f_{max} = f(2) = -(2)^3 + 12(2) = -8 + 24 = 16$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, возрастает на промежутке $[-2; 2]$; точка минимума $x_{min} = -2$, $y_{min} = -16$; точка максимума $x_{max} = 2$, $y_{max} = 16$.