Номер 48.1, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.1. На рисунке 48.5 изображен график функции $y = f(x)$. По графику найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции.

Рис. 48.5

1) Анализ графика функции $y=f(x)$, изображенного на рисунке 1.

Будем считать, что область определения функции — это отрезок $[a_1, a_{10}]$. График имеет характерные особенности: в точке $x=a_2$ — острый минимум (касп), в точке $x=a_5$ — излом, а в точке $x=a_9$ — разрыв типа "скачок" (значение функции $f(a_9)$ показано закрашенной точкой, а предел слева — незакрашенной).

Промежутки возрастания:Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

• На промежутке $[a_2, a_4]$ график идет вверх, значит, функция возрастает.

• На промежутке $[a_7, a_9)$ график также идет вверх. Правая граница не включается ($a_9$), так как из-за скачка значение функции в точке $a_9$ меньше, чем значения функции слева от нее, что нарушает определение возрастания на промежутке, включающем $a_9$.

Итак, промежутки возрастания: $[a_2, a_4]$ и $[a_7, a_9)$.

Промежутки убывания:Функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

• На промежутках $[a_1, a_2]$ и $[a_4, a_7]$ график идет вниз, значит, функция убывает. Наличие излома в точке $a_5$ не меняет того факта, что функция убывает на всем промежутке $[a_4, a_7]$.

• На промежутке $(a_9, a_{10}]$ график также идет вниз. Левая граница $a_9$ не включается из-за разрыва.

Итак, промежутки убывания: $[a_1, a_2]$, $[a_4, a_7]$ и $(a_9, a_{10}]$.

Точки экстремума:Это точки из области определения функции, в которых достигается локальный максимум или минимум.

Точки максимума ($x_{max}$): Точка $x_0$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

• $x=a_1$: Это левая граница области определения, и функция убывает после нее, поэтому это точка локального максимума.

• $x=a_4$: В этой точке возрастание сменяется убыванием. Это точка локального максимума.

Точка $a_9$ не является точкой максимума, так как значение функции в ней $f(a_9)$ (положение закрашенной точки) меньше, чем значения функции в точках слева от нее.

Точки минимума ($x_{min}$): Точка $x_0$ называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

• $x=a_2$: В этой точке убывание сменяется возрастанием. Это точка локального минимума.

• $x=a_7$: В этой точке убывание также сменяется возрастанием. Это точка локального минимума.

• $x=a_{10}$: Это правая граница области определения, к которой функция убывала, поэтому это точка локального минимума.

Ответ:

Промежутки возрастания: $[a_2, a_4], [a_7, a_9)$.

Промежутки убывания: $[a_1, a_2], [a_4, a_7], (a_9, a_{10}]$.

Точки максимума: $a_1, a_4$.

Точки минимума: $a_2, a_7, a_{10}$.

Точки экстремума: $a_1, a_2, a_4, a_7, a_{10}$.

2) Анализ графика функции $y=f(x)$, изображенного на рисунке 2.

Будем считать, что область определения функции — отрезок $[a_1, a_8]$. График имеет участок, на котором функция постоянна, — $[a_6, a_7]$. При определении промежутков монотонности принято находить максимальные по включению промежутки, на которых функция не убывает или не возрастает (нестрогая монотонность).

Промежутки возрастания (неубывания):Функция не убывает, если для любых $x_1 < x_2$ из промежутка выполняется $f(x_1) \le f(x_2)$.

• На промежутках $[a_1, a_2]$ и $[a_4, a_6]$ функция строго возрастает. На промежутке $[a_6, a_7]$ функция постоянна. Объединяя, получаем, что функция не убывает на промежутках $[a_1, a_2]$ и $[a_4, a_7]$.

Промежутки убывания (невозрастания):Функция не возрастает, если для любых $x_1 < x_2$ из промежутка выполняется $f(x_1) \ge f(x_2)$.

• На промежутках $[a_2, a_4]$ и $[a_7, a_8]$ функция строго убывает. На промежутке $[a_6, a_7]$ функция постоянна. Объединяя, получаем, что функция не возрастает на промежутках $[a_2, a_4]$ и $[a_6, a_8]$.

Точки экстремума:

Точки максимума ($x_{max}$):

• $x=a_2$: В этой точке возрастание сменяется убыванием, это точка локального максимума.

• Все точки $x$ из отрезка $[a_6, a_7]$ являются точками локального максимума (нестрогого), так как для любой точки $c$ из этого отрезка в ее окрестности выполняется $f(x) \le f(c)$.

Точки минимума ($x_{min}$):

• $x=a_1$: Левая граница области определения, является точкой локального минимума.

• $x=a_4$: В этой точке убывание сменяется возрастанием, это точка локального минимума.

• $x=a_8$: Правая граница области определения, является точкой локального минимума.

Ответ:

Промежутки возрастания: $[a_1, a_2], [a_4, a_7]$.

Промежутки убывания: $[a_2, a_4], [a_6, a_8]$.

Точки максимума: $a_2$ и все точки отрезка $[a_6, a_7]$.

Точки минимума: $a_1, a_4, a_8$.

Точки экстремума: $a_1, a_2, a_4, a_8$ и все точки отрезка $[a_6, a_7]$.