Номер 47.18, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.18. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = x^4 - 3x^2 - 4;$

2) $y = x^4 - 6x^2 + 8;$

3) $y = 125x^5 - x;$

4) $y = -0,2x^5 + x.$

1) $y = x^4 - 3x^2 - 4$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Производная функции: $y' = (x^4 - 3x^2 - 4)' = 4x^3 - 6x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$4x^3 - 6x = 0$

$2x(2x^2 - 3) = 0$

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $2x^2 - 3 = 0$, что дает $x^2 = \frac{3}{2}$, то есть $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Критические точки $x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$, $x = 0$ и $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ разбивают числовую ось на четыре промежутка. Определим знак производной $y' = 2x(2x^2 - 3)$ на каждом из них:

• При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{2})$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{2}; 0)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0; \frac{\sqrt{6}}{2})$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (\frac{\sqrt{6}}{2}; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0]$ и $[\frac{\sqrt{6}}{2}, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{2}]$ и $[0, \frac{\sqrt{6}}{2}]$.

2) $y = x^4 - 6x^2 + 8$

Найдем производную функции: $y' = (x^4 - 6x^2 + 8)' = 4x^3 - 12x$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$4x^3 - 12x = 0$

$4x(x^2 - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x^2 - 3 = 0$, то есть $x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

Критические точки $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$ и $x = \sqrt{3}$ разбивают числовую ось на промежутки. Определим знак производной $y' = 4x(x^2 - 3)$ на этих промежутках:

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-\sqrt{3}; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; \sqrt{3})$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\sqrt{3}, 0]$ и $[\sqrt{3}, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3}]$ и $[0, \sqrt{3}]$.

3) $y = 125x^5 - x$

Найдем производную функции: $y' = (125x^5 - x)' = 625x^4 - 1$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$625x^4 - 1 = 0$

$x^4 = \frac{1}{625}$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \pm\frac{1}{5}$.

Критические точки $x = -1/5$ и $x = 1/5$ разбивают числовую ось на три промежутка. Определим знак производной $y' = 625x^4 - 1$ на них:

• При $x \in (-\infty; -1/5)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1/5; 1/5)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1/5; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1/5]$ и $[1/5, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1/5, 1/5]$.

4) $y = -0,2x^5 + x$

Найдем производную функции: $y' = (-0,2x^5 + x)' = -0,2 \cdot 5x^4 + 1 = -x^4 + 1$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$-x^4 + 1 = 0$

$x^4 = 1$

Корни уравнения: $x = \pm 1$.

Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три промежутка. Определим знак производной $y' = 1 - x^4$ на них:

• При $x \in (-\infty; -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty]$.