Номер 47.17, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.17.1) $f(x) = -\frac{2 + x}{x + 3} + 4x;$

2) $f(x) = 6x - \frac{1 - x}{2x + 7};$

3) $f(x) = 2x - \frac{x + 3}{x - 2}.$

1) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = -\frac{2+x}{x+3} + 4x$, сначала преобразуем её, выделив целую часть в дроби. Числитель дроби $2+x$ можно представить как $x+3-1$.

Тогда дробная часть функции примет вид:

$-\frac{2+x}{x+3} = -\frac{x+3-1}{x+3} = - \left( \frac{x+3}{x+3} - \frac{1}{x+3} \right) = - \left( 1 - \frac{1}{x+3} \right) = -1 + \frac{1}{x+3}$.

Теперь исходная функция записывается как:

$f(x) = -1 + \frac{1}{x+3} + 4x$.

Найдём первообразную $F(x)$, интегрируя каждое слагаемое по отдельности. Общая первообразная $F(x)$ есть сумма первообразных для каждого слагаемого плюс произвольная постоянная $C$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int \left( -1 + \frac{1}{x+3} + 4x \right) dx = \int (-1)dx + \int \frac{1}{x+3}dx + \int 4x dx$.

Используем табличные интегралы:

$\int (-1)dx = -x$

$\int \frac{1}{x+3}dx = \ln|x+3|$

$\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

Суммируя полученные выражения и добавляя постоянную интегрирования $C$, получаем окончательный вид первообразной:

$F(x) = -x + \ln|x+3| + 2x^2 + C$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 - x + \ln|x+3| + C$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 6x - \frac{1-x}{2x+7}$. Для нахождения её первообразной сначала преобразуем дробное выражение.

Изменим знак перед дробью и в числителе:

$f(x) = 6x + \frac{x-1}{2x+7}$.

Выделим целую часть в дроби $\frac{x-1}{2x+7}$, для этого выразим числитель через знаменатель:

$x-1 = \frac{1}{2}(2x) - 1 = \frac{1}{2}(2x+7-7) - 1 = \frac{1}{2}(2x+7) - \frac{7}{2} - 1 = \frac{1}{2}(2x+7) - \frac{9}{2}$.

Теперь дробь можно переписать так:

$\frac{x-1}{2x+7} = \frac{\frac{1}{2}(2x+7) - \frac{9}{2}}{2x+7} = \frac{\frac{1}{2}(2x+7)}{2x+7} - \frac{\frac{9}{2}}{2x+7} = \frac{1}{2} - \frac{9}{2(2x+7)}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$f(x) = 6x + \frac{1}{2} - \frac{9}{2(2x+7)}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, проинтегрировав функцию $f(x)$:

$F(x) = \int \left( 6x + \frac{1}{2} - \frac{9}{2(2x+7)} \right) dx = \int 6x dx + \int \frac{1}{2} dx - \int \frac{9}{2(2x+7)} dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int 6x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$

$\int \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}x$

$\int \frac{9}{2(2x+7)} dx = \frac{9}{2} \int \frac{1}{2x+7} dx = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}\ln|2x+7| = \frac{9}{4}\ln|2x+7|$

Собираем все части вместе и добавляем произвольную постоянную $C$:

$F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{9}{4}\ln|2x+7| + C$.

Ответ: $F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{9}{4}\ln|2x+7| + C$.

3) Дана функция $f(x) = 2x - \frac{x+3}{x-2}$. Для нахождения её первообразной преобразуем дробное слагаемое, выделив в нём целую часть.

Представим числитель $x+3$ через знаменатель $x-2$:

$x+3 = x-2+5$.

Тогда дробь равна:

$\frac{x+3}{x-2} = \frac{x-2+5}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} + \frac{5}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2}$.

Подставим полученное выражение в исходную функцию:

$f(x) = 2x - \left( 1 + \frac{5}{x-2} \right) = 2x - 1 - \frac{5}{x-2}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$ для полученной функции путем интегрирования:

$F(x) = \int \left( 2x - 1 - \frac{5}{x-2} \right) dx = \int 2x dx - \int 1 dx - \int \frac{5}{x-2} dx$.

Вычислим интегралы для каждого слагаемого:

$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 dx = x$

$\int \frac{5}{x-2} dx = 5 \int \frac{1}{x-2} dx = 5\ln|x-2|$

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = x^2 - x - 5\ln|x-2| + C$.

Ответ: $F(x) = x^2 - x - 5\ln|x-2| + C$.