Номер 47.13, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.13. Докажите, что в области определения является убывающей функция:

1) $f(x) = -3x + \cos x;$

2) $f(x) = \sin x - 4x;$

3) $f(x) = -3x + \cos 2x.$

Для доказательства того, что функция является убывающей в своей области определения, достаточно найти ее производную и показать, что она отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех $x$ из области определения.

1) Рассмотрим функцию $f(x) = -3x + \cos x$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и линейная функция, и косинус определены на всей числовой оси.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x + \cos x)' = (-3x)' + (\cos x)' = -3 - \sin x$.

Оценим значение производной. Известно, что область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, для производной $f'(x) = -3 - \sin x$ можно записать неравенство:

$-3 - 1 \le -3 - \sin x \le -3 - (-1)$

$-4 \le f'(x) \le -2$.

Так как производная $f'(x)$ принимает только отрицательные значения на всей области определения, то функция $f(x)$ является убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - 4x$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - 4x)' = (\sin x)' - (4x)' = \cos x - 4$.

Оценим значение производной. Известно, что область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, для производной $f'(x) = \cos x - 4$ можно записать неравенство:

$-1 - 4 \le \cos x - 4 \le 1 - 4$

$-5 \le f'(x) \le -3$.

Так как производная $f'(x)$ принимает только отрицательные значения на всей области определения, то функция $f(x)$ является убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = -3x + \cos 2x$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (-3x + \cos 2x)' = (-3x)' + (\cos 2x)' = -3 - (\sin 2x) \cdot (2x)' = -3 - 2\sin 2x$.

Оценим значение производной. Известно, что область значений функции $\sin 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin 2x \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-2$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные):

$(-1) \cdot (-2) \ge -2\sin 2x \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\sin 2x \ge -2$.

Теперь прибавим $-3$ ко всем частям неравенства:

$2 - 3 \ge -3 - 2\sin 2x \ge -2 - 3$

$-1 \ge f'(x) \ge -5$.

Так как производная $f'(x)$ принимает только отрицательные значения на всей области определения, то функция $f(x)$ является убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.