Номер 47.11, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.11. Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что функция $f(x):$

1) возрастает на интервалах $(-\infty; 2]$ и $[5; +\infty)$ и убывает на интервале $[2; 5.5];$

2) убывает на интервалах $(-\infty; -3]$ и $[6; +\infty)$ и возрастает на интервале $[-3; 6].$

1) Для построения эскиза графика производной $y = f'(x)$ воспользуемся связью между знаком производной и монотонностью функции $f(x)$. Если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x) \ge 0$ на этом интервале. Если функция $f(x)$ убывает, то её производная $f'(x) \le 0$. В точках, где характер монотонности меняется (точки экстремума), производная дифференцируемой функции равна нулю.

Согласно условию, функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(-\infty, 2]$ и $[5,5, +\infty)$. Следовательно, на этих интервалах её производная $f'(x) \ge 0$. Это означает, что график производной $y=f'(x)$ будет находиться не ниже оси абсцисс (оси Ox).

Функция $f(x)$ убывает на интервале $[2, 5,5]$. Следовательно, на этом интервале её производная $f'(x) \le 0$. Это означает, что график производной $y=f'(x)$ будет находиться не выше оси абсцисс.

В точках $x=2$ и $x=5,5$ происходит смена монотонности функции $f(x)$. В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием (точка локального максимума), а в точке $x=5,5$ убывание сменяется возрастанием (точка локального минимума). В этих точках производная равна нулю: $f'(2)=0$ и $f'(5,5)=0$. Таким образом, график производной пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=5,5$.

Обобщая, эскиз графика функции $y=f'(x)$ — это любая непрерывная кривая, которая находится выше оси Ox на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(5,5, +\infty)$, ниже оси Ox на интервале $(2, 5,5)$ и пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=5,5$. Например, это может быть парабола, ветви которой направлены вверх.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой кривую, которая положительна на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(5,5, +\infty)$, отрицательна на интервале $(2, 5,5)$ и обращается в ноль в точках $x=2$ и $x=5,5$.

2) Аналогично первому пункту, проанализируем поведение функции $f(x)$ и определим свойства её производной $f'(x)$.

Согласно условию, функция $f(x)$ убывает на интервалах $(-\infty, -3]$ и $[6, +\infty)$. Следовательно, на этих интервалах её производная $f'(x) \le 0$. График производной $y=f'(x)$ будет находиться не выше оси абсцисс (оси Ox).

Функция $f(x)$ возрастает на интервале $[-3, 6]$. Следовательно, на этом интервале её производная $f'(x) \ge 0$. График производной $y=f'(x)$ будет находиться не ниже оси абсцисс.

В точках $x=-3$ и $x=6$ происходит смена монотонности функции $f(x)$. В точке $x=-3$ убывание сменяется возрастанием (точка локального минимума), а в точке $x=6$ возрастание сменяется убыванием (точка локального максимума). В этих точках производная равна нулю: $f'(-3)=0$ и $f'(6)=0$. Таким образом, график производной пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=6$.

Обобщая, эскиз графика функции $y=f'(x)$ — это любая непрерывная кривая, которая находится ниже оси Ox на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(6, +\infty)$, выше оси Ox на интервале $(-3, 6)$ и пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=6$. Например, это может быть парабола, ветви которой направлены вниз.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой кривую, которая отрицательна на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(6, +\infty)$, положительна на интервале $(-3, 6)$ и обращается в ноль в точках $x=-3$ и $x=6$.