Номер 47.12, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.12. Докажите, что в области определения является возрастающей функция:

1) $f(x) = 5x + \cos x$;

2) $f(x) = x + \sin x$;

3) $f(x) = 2x + \cos x$.

Для доказательства того, что функция является возрастающей в своей области определения, достаточно найти ее производную и показать, что она неотрицательна (или строго положительна) для всех значений аргумента из области определения.

1) $f(x) = 5x + \cos x$

Область определения данной функции — все действительные числа, так как функции $y=5x$ и $y=\cos x$ определены на всей числовой прямой. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (5x + \cos x)' = (5x)' + (\cos x)' = 5 - \sin x$.

Известно, что значения функции синус лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Используем это свойство для оценки знака производной:

Если $\sin x = 1$ (максимальное значение), то $f'(x) = 5 - 1 = 4$.

Если $\sin x = -1$ (минимальное значение), то $f'(x) = 5 - (-1) = 6$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $4 \le f'(x) \le 6$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда строго больше нуля ($f'(x) > 0$) на всей области определения, функция $f(x) = 5x + \cos x$ является возрастающей.

Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.

2) $f(x) = x + \sin x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Известно, что значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Оценим знак производной:

Если $\cos x = -1$ (минимальное значение), то $f'(x) = 1 - 1 = 0$.

Если $\cos x = 1$ (максимальное значение), то $f'(x) = 1 + 1 = 2$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $0 \le f'(x) \le 2$.

Производная функции неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) для всех $x$. Равенство нулю $f'(x) = 0$ достигается только в точках, где $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку производная равна нулю лишь в изолированных точках, а на всех интервалах между этими точками она строго положительна, функция $f(x) = x + \sin x$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.

3) $f(x) = 2x + \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x + \cos x)' = (2x)' + (\cos x)' = 2 - \sin x$.

Как и в первом пункте, используем свойство $-1 \le \sin x \le 1$.

Оценим знак производной:

Если $\sin x = 1$ (максимальное значение), то $f'(x) = 2 - 1 = 1$.

Если $\sin x = -1$ (минимальное значение), то $f'(x) = 2 - (-1) = 3$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $1 \le f'(x) \le 3$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда строго больше нуля ($f'(x) > 0$) на всей области определения, функция $f(x) = 2x + \cos x$ является возрастающей.

Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.