Номер 47.19, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Исследуйте на монотонность функции (47.19–47.20):

47.19.1) $y = \sqrt{2+3x}$;

2) $y = \sqrt{4x-1}$;

3) $y = \frac{1}{x^2-4x+3}$;

4) $y = \frac{1}{-2x^2+5x-3}$;

1) $y = \sqrt{2+3x}$

Для исследования функции на монотонность найдем ее область определения и производную, а затем определим знаки производной.

Область определения функции $D(y)$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2+3x \ge 0$, откуда $3x \ge -2$, то есть $x \ge -2/3$. Таким образом, $D(y) = [-2/3, +\infty)$.

Найдём производную функции: $y' = (\sqrt{2+3x})' = \frac{1}{2\sqrt{2+3x}} \cdot (2+3x)' = \frac{3}{2\sqrt{2+3x}}$.

На всей области определения, кроме точки $x = -2/3$, производная существует. Числитель производной равен 3 (положителен), а знаменатель $2\sqrt{2+3x}$ также положителен для всех $x$ из интервала $(-2/3, +\infty)$. Следовательно, $y' > 0$ на всем этом интервале. Поскольку функция непрерывна в точке $x = -2/3$, она монотонно возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2/3, +\infty)$.

2) $y = \sqrt{4x-1}$

Аналогично предыдущему пункту, исследуем функцию на монотонность.

Область определения функции $D(y)$ определяется условием $4x-1 \ge 0$, откуда $4x \ge 1$, то есть $x \ge 1/4$. Таким образом, $D(y) = [1/4, +\infty)$.

Найдём производную функции: $y' = (\sqrt{4x-1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x-1}} \cdot (4x-1)' = \frac{4}{2\sqrt{4x-1}} = \frac{2}{\sqrt{4x-1}}$.

Для всех $x$ из интервала $(1/4, +\infty)$ числитель производной (2) и знаменатель ($\sqrt{4x-1}$) положительны. Следовательно, $y' > 0$ на этом интервале. Функция непрерывна в точке $x = 1/4$, поэтому она монотонно возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/4, +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{x^2-4x+3}$

Исследуем данную дробно-рациональную функцию на монотонность.

Область определения функции $D(y)$ состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Решим уравнение $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

Найдём производную функции по правилу дифференцирования дроби: $y' = \left(\frac{1}{x^2-4x+3}\right)' = -\frac{(x^2-4x+3)'}{(x^2-4x+3)^2} = -\frac{2x-4}{(x^2-4x+3)^2} = \frac{4-2x}{(x^2-4x+3)^2}$.

Знаменатель производной $(x^2-4x+3)^2$ положителен во всей области определения функции. Следовательно, знак $y'$ совпадает со знаком ее числителя $4-2x$. Решим неравенства:$4-2x > 0 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2$.$4-2x < 0 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$.Точка $x=2$ является точкой экстремума (максимума).

Сопоставим эти результаты с областью определения. Функция возрастает ($y'>0$) при $x<2$, то есть на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 2)$. Функция убывает ($y'<0$) при $x>2$, то есть на промежутках $(2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 2)$; функция убывает на промежутках $(2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

4) $y = \frac{1}{-2x^2+5x-3}$

Проведем исследование на монотонность для данной функции.

Область определения $D(y)$: знаменатель не должен быть равен нулю. Решим уравнение $-2x^2+5x-3=0$ или $2x^2-5x+3=0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{4}{4}=1$ и $x_2 = \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, 3/2) \cup (3/2, +\infty)$.

Найдём производную: $y' = \left(\frac{1}{-2x^2+5x-3}\right)' = -\frac{(-2x^2+5x-3)'}{(-2x^2+5x-3)^2} = -\frac{-4x+5}{(-2x^2+5x-3)^2} = \frac{4x-5}{(-2x^2+5x-3)^2}$.

Знак производной определяется знаком числителя $4x-5$, так как знаменатель всегда положителен в $D(y)$.$4x-5 < 0 \Rightarrow 4x < 5 \Rightarrow x < 5/4$.$4x-5 > 0 \Rightarrow 4x > 5 \Rightarrow x > 5/4$.Точка $x=5/4$ является точкой экстремума (минимума).

Сопоставим с областью определения. Функция убывает ($y'<0$) при $x < 5/4$, то есть на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 5/4)$. Функция возрастает ($y'>0$) при $x > 5/4$, то есть на промежутках $(5/4, 3/2)$ и $(3/2, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 5/4)$; функция возрастает на промежутках $(5/4, 3/2)$ и $(3/2, +\infty)$.