Вопросы, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Верно ли утверждение: любая стационарная точка является критической точкой?

2. В любой ли критической точке имеется экстремум?

1. Верно ли утверждение: любая стационарная точка является критической точкой?

Да, это утверждение верно. Чтобы это доказать, обратимся к определениям.

Критическими точками функции $f(x)$ называются внутренние точки ее области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.

Стационарными точками функции $f(x)$ называются внутренние точки ее области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю.

Из этих определений видно, что множество стационарных точек является подмножеством множества критических точек. Если в точке $x_0$ производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$), то она по определению является стационарной. В то же время, она удовлетворяет одному из условий для критической точки (производная равна нулю), а значит, является и критической.

Например, для функции $f(x) = x^2 - 4x + 1$ производная $f'(x) = 2x - 4$. Стационарная точка находится из условия $f'(x) = 0$, то есть $2x - 4 = 0$, откуда $x=2$. Эта точка является и стационарной, и критической.

При этом обратное неверно: не любая критическая точка является стационарной. Например, для функции $f(x) = |x|$ в точке $x=0$ производная не существует, поэтому $x=0$ — критическая точка, но не стационарная.

Ответ: Да, утверждение верно.

2. В любой ли критической точке имеется экстремум?

Нет, не в любой критической точке имеется экстремум. Наличие критической точки является необходимым, но не достаточным условием для существования экстремума функции.

Критические точки — это лишь «подозрительные» на экстремум точки. Чтобы определить, является ли критическая точка точкой экстремума (минимума или максимума), необходимо провести дополнительное исследование, например, проанализировать смену знака производной при переходе через эту точку.

Рассмотрим контрпример: функция $f(x) = x^3$.

1. Найдем ее производную: $f'(x) = 3x^2$.

2. Найдем критические точки. Производная существует при всех $x$. Приравняем ее к нулю: $3x^2 = 0$, откуда получаем $x=0$. Таким образом, $x=0$ — единственная критическая (и стационарная) точка.

3. Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. При $x < 0$ производная $f'(x) = 3x^2 > 0$, значит, функция возрастает. При $x > 0$ производная $f'(x) = 3x^2 > 0$, значит, функция также возрастает. Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная не меняет свой знак, в этой точке нет ни максимума, ни минимума. Точка $x=0$ для функции $f(x) = x^3$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной, но не точкой экстремума.

Ответ: Нет, не в любой.