Номер 47.20, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.20.

1) $y = x - \sin2x$;

2) $y = 2x + \sin x$;

3) $y = x - \cos2x$;

4) $y = 3x - \cos x$.

1) $y = x - \sin 2x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - (\sin 2x)' = 1 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

Функция возрастает, когда ее производная положительна, то есть $y' > 0$.

$1 - 2\cos 2x > 0$

$1 > 2\cos 2x$

$\cos 2x < \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки возрастания для $x$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $y' < 0$.

$1 - 2\cos 2x < 0$

$\cos 2x > \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки убывания для $x$:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$ и убывает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2x + \sin x$

Найдем производную функции. Область определения — $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (2x + \sin x)' = 2 + \cos x$.

Чтобы определить знак производной, оценим ее значение. Мы знаем, что для любого $x$ значение косинуса находится в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \cos x \le 1$

Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим:

$2 - 1 \le 2 + \cos x \le 2 + 1$

$1 \le y' \le 3$

Так как производная $y' = 2 + \cos x$ всегда положительна (ее наименьшее значение равно 1), функция $y = 2x + \sin x$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

3) $y = x - \cos 2x$

Для нахождения промежутков монотонности, найдем производную. Область определения функции — $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (x - \cos 2x)' = 1 - (-\sin 2x \cdot 2) = 1 + 2\sin 2x$.

Функция возрастает при $y' > 0$:

$1 + 2\sin 2x > 0$

$\sin 2x > -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки возрастания для $x$:

$-\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{7\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при $y' < 0$:

$1 + 2\sin 2x < 0$

$\sin 2x < -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки убывания для $x$:

$\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{7\pi}{12} + \pi n)$ и убывает на каждом из интервалов $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, \frac{11\pi}{12} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 3x - \cos x$

Найдем производную функции. Область определения — $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (3x - \cos x)' = 3 - (-\sin x) = 3 + \sin x$.

Оценим значение производной. Значение синуса находится в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \sin x \le 1$

Прибавив 3 ко всем частям неравенства, получим:

$3 - 1 \le 3 + \sin x \le 3 + 1$

$2 \le y' \le 4$

Поскольку производная $y' = 3 + \sin x$ всегда положительна (ее наименьшее значение равно 2), функция $y = 3x - \cos x$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.