Номер 48.3, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$ (48.3–48.5):

48.3. 1) $f(x) = x + 4;$

2) $f(x) = -x + 9;$

3) $f(x) = -5x + 7;$

4) $f(x) = 4x - 11.$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и определить точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки). Затем нужно исследовать знак производной в окрестности этих точек. Точка является точкой экстремума (минимума или максимума), если в ней производная меняет знак.

Все представленные функции являются линейными вида $y = kx + b$. Их производная равна угловому коэффициенту $k$.

1) Дана функция $f(x) = x + 4$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x + 4)' = 1$.

Производная функции $f'(x) = 1$ является постоянной и положительной величиной ($1 > 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x) = x + 4$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

2) Дана функция $f(x) = -x + 9$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (-x + 9)' = -1$.

Производная функции $f'(x) = -1$ является постоянной и отрицательной величиной ($-1 < 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $f(x) = -x + 9$ является строго убывающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

3) Дана функция $f(x) = -5x + 7$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (-5x + 7)' = -5$.

Производная функции $f'(x) = -5$ является постоянной и отрицательной величиной ($-5 < 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $f(x) = -5x + 7$ является строго убывающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

4) Дана функция $f(x) = 4x - 11$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (4x - 11)' = 4$.

Производная функции $f'(x) = 4$ является постоянной и положительной величиной ($4 > 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x) = 4x - 11$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.