Номер 48.2, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.2. Укажите критические точки функции $y = f(x)$ и установите, какие из них являются точками минимума, какие — точками максимума (рис. 48.6).

Рис. 48.6

1) Критические точки функции — это внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Рассмотрим график 1:

- В точках $x=b_3$ и $x=b_6$ касательная к графику горизонтальна. Это означает, что производная в этих точках равна нулю: $f'(b_3) = 0$ и $f'(b_6) = 0$. Следовательно, $b_3$ и $b_6$ являются критическими точками.

- В точках $x=b_2$ и $x=b_4$ функция имеет разрывы. Поскольку в этих точках функция определена (обозначены закрашенными кружками), но не является дифференцируемой, производная в них не существует. Следовательно, $b_2$ и $b_4$ также являются критическими точками.

Таким образом, все критические точки функции, изображенной на графике 1, это $b_2, b_3, b_4, b_6$.

Теперь определим характер этих точек:

- Точка $b_2$ является точкой минимума, так как существует окрестность этой точки, в которой значение $f(b_2)$ является наименьшим.

- Точка $b_3$ является точкой максимума, так как в ее окрестности значение $f(b_3)$ является наибольшим. При переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-».

- Точка $b_4$ не является точкой экстремума (ни минимума, ни максимума), так как в любой ее окрестности есть точки, где значение функции больше $f(b_4)$ (слева), и точки, где значение функции меньше $f(b_4)$ (справа).

- Точка $b_6$ является точкой минимума, так как в ее окрестности значение $f(b_6)$ является наименьшим. При переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+».

Ответ: Критические точки: $b_2, b_3, b_4, b_6$. Точки минимума: $b_2, b_6$. Точка максимума: $b_3$.

2) Рассмотрим график 2:

- Функция на этом графике является непрерывной и гладкой. Критическими будут только стационарные точки, то есть те, в которых производная равна нулю.

- В точках $x=b_2$ и $x=b_4$ касательная к графику горизонтальна, что означает $f'(b_2) = 0$ и $f'(b_4) = 0$.

Таким образом, критические точки функции, изображенной на графике 2, это $b_2, b_4$.

Теперь определим характер этих точек:

- Точка $b_2$ является точкой максимума. В этой точке функция достигает локального пика, а ее производная меняет знак с «+» на «-».

- Точка $b_4$ является точкой минимума. В этой точке функция достигает локальной впадины, а ее производная меняет знак с «-» на «+».

Ответ: Критические точки: $b_2, b_4$. Точка минимума: $b_4$. Точка максимума: $b_2$.