Номер 47.23, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.23. Решите неравенство $f'(x) < 0$:

1) $f(x) = 12x - x^3$;

2) $f(x) = \sqrt{3} x - 2\cos \frac{x}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = 12x - x^3$.Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (12x - x^3)' = (12x)' - (x^3)' = 12 \cdot 1 - 3x^{3-1} = 12 - 3x^2$.

Теперь составим и решим неравенство:

$12 - 3x^2 < 0$

Перенесем $3x^2$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$12 < 3x^2$

Разделим обе части на 3:

$4 < x^2$

Это неравенство можно переписать как $x^2 - 4 > 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как это парабола с ветвями вверх, выражение $(x-2)(x+2)$ положительно на крайних интервалах.

Следовательно, решение неравенства есть объединение интервалов $x < -2$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{3}x - 2\cos\frac{x}{2}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции для $\cos\frac{x}{2}$:

$f'(x) = (\sqrt{3}x - 2\cos\frac{x}{2})' = (\sqrt{3}x)' - (2\cos\frac{x}{2})' = \sqrt{3} - 2 \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \sqrt{3} + 2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \sin\frac{x}{2}$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) < 0$:

$\sqrt{3} + \sin\frac{x}{2} < 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$\sin\frac{x}{2} < -\sqrt{3}$

Известно, что область значений функции синус для любого действительного аргумента принадлежит отрезку $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin\frac{x}{2} \le 1$

Оценим значение $-\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $-\sqrt{3} \approx -1.732$.

Значение $-\sqrt{3}$ находится вне области значений синуса, так как $-\sqrt{3} < -1$.

Поскольку минимальное значение, которое может принять $\sin\frac{x}{2}$, равно -1, то неравенство $\sin\frac{x}{2} < -\sqrt{3}$ не может быть выполнено ни при каких значениях $x$.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).