Номер 48.6, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.6. Найдите экстремумы функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 2x^2 - 5x + 2;$

2) $f(x) = -3x^2 + 9x - 4;$

3) $f(x) = 8 + 8x - 6x^2;$

4) $f(x) = 17 + 18x + 9x^2.$

Для нахождения экстремумов (максимумов или минимумов) квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ можно использовать производную. Экстремум достигается в вершине параболы, абсциссу которой можно найти, приравняв первую производную к нулю.

1) Дана функция $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$), следовательно, функция имеет точку минимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - 5x + 2)' = 4x - 5$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$4x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4}$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение минимума):

$y_{min} = f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 2 = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = \frac{25 - 50 + 16}{8} = -\frac{9}{8}$.

Ответ: $y_{min} = -\frac{9}{8}$.

2) Дана функция $f(x) = -3x^2 + 9x - 4$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-3 < 0$), следовательно, функция имеет точку максимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x^2 + 9x - 4)' = -6x + 9$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$-6x + 9 = 0 \Rightarrow 6x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение максимума):

$y_{max} = f(\frac{3}{2}) = -3(\frac{3}{2})^2 + 9(\frac{3}{2}) - 4 = -3 \cdot \frac{9}{4} + \frac{27}{2} - 4 = -\frac{27}{4} + \frac{54}{4} - \frac{16}{4} = \frac{-27 + 54 - 16}{4} = \frac{11}{4}$.

Ответ: $y_{max} = \frac{11}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = 8 + 8x - 6x^2$. Запишем в стандартном виде: $f(x) = -6x^2 + 8x + 8$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-6 < 0$), следовательно, функция имеет точку максимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-6x^2 + 8x + 8)' = -12x + 8$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$-12x + 8 = 0 \Rightarrow 12x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение максимума):

$y_{max} = f(\frac{2}{3}) = -6(\frac{2}{3})^2 + 8(\frac{2}{3}) + 8 = -6 \cdot \frac{4}{9} + \frac{16}{3} + 8 = -\frac{24}{9} + \frac{16}{3} + 8 = -\frac{8}{3} + \frac{16}{3} + \frac{24}{3} = \frac{-8 + 16 + 24}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $y_{max} = \frac{32}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = 17 + 18x + 9x^2$. Запишем в стандартном виде: $f(x) = 9x^2 + 18x + 17$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $9 > 0$), следовательно, функция имеет точку минимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (9x^2 + 18x + 17)' = 18x + 18$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$18x + 18 = 0 \Rightarrow 18x = -18 \Rightarrow x = -1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение минимума):

$y_{min} = f(-1) = 9(-1)^2 + 18(-1) + 17 = 9 - 18 + 17 = 8$.

Ответ: $y_{min} = 8$.