Номер 48.11, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.11. 1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 0,25;$

2) $f(x) = x^3 + 0,12x;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1;$

4) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 11.$

1) Исследуем функцию $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 0,25$.

Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции для определения промежутков монотонности и точек экстремума:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 0,25)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Находим критические (стационарные) точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 = 0$

$x = 0$.

Анализируем знак производной. Так как $f'(x) = x^2 \ge 0$ для всех $x$, производная неотрицательна на всей области определения. Это означает, что функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Так как производная не меняет знак при переходе через критическую точку $x=0$, то в этой точке нет экстремума. Таким образом, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

2) Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 0,12x$.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 0,12x)' = 3x^2 + 0,12$.

Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 0,12 = 0$

$3x^2 = -0,12$

$x^2 = -0,04$.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у функции нет критических точек.

Анализируем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 0,12 \ge 0,12 > 0$ для всех $x$. Поскольку производная всегда положительна, функция строго возрастает на всей области определения.

Так как нет критических точек, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Исследуем функцию $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1$.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x = x^2 + 2x$.

Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:

- При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$: $f'(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (-2, 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 < 0$. Функция убывает.

- При $x \in (0, +\infty)$, например $x=1$: $f'(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 > 0$. Функция возрастает.

Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f_{max} = f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 1 = -\frac{8}{3} + 4 - 1 = -\frac{8}{3} + 3 = \frac{1}{3}$.

- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f_{min} = f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0^2 - 1 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$; точка максимума $x_{max}=-2$ ($f(-2)=\frac{1}{3}$), точка минимума $x_{min}=0$ ($f(0)=-1$).

4) Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 + 11$.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 11)' = 3x^2 - 6x$.

Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:

- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (0, 2)$, например $x=1$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.

- При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

Определяем точки экстремума:

- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции: $f_{max} = f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 11 = 11$.

- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции: $f_{min} = f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 11 = 8 - 12 + 11 = 7$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 2]$; точка максимума $x_{max}=0$ ($f(0)=11$), точка минимума $x_{min}=2$ ($f(2)=7$).