Номер 48.16, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции $y = f(x)$ (48.16–48.17):

48.16. 1) $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$;

2) $f(x) = \frac{6}{x} + \frac{x}{6}$.

1) $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Так как в знаменателе есть $x$, то $x \neq 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5}\right)' = (5x^{-1} - \frac{1}{5}x)' = 5 \cdot (-1)x^{-2} - \frac{1}{5} = -\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}$.

3. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5} = 0$

$-\frac{5}{x^2} = \frac{1}{5}$

$x^2 = -25$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это означает, что у функции нет стационарных точек.

4. Проанализируем знак производной на всей области определения. Выражение для производной $f'(x) = -\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}$.

Для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, следовательно, $\frac{5}{x^2} > 0$, а $-\frac{5}{x^2} < 0$. Так как $-\frac{1}{5}$ также отрицательное число, то их сумма $f'(x) = -\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}$ всегда отрицательна для любого $x \in D(f)$.

5. Поскольку $f'(x) < 0$ на всей области определения, функция является убывающей на каждом из промежутков своей области определения. Так как производная нигде не равна нулю и не меняет знак, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; промежутков возрастания и точек экстремума нет.

2) $f(x) = \frac{6}{x} + \frac{x}{6}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{6}{x} + \frac{x}{6}\right)' = (6x^{-1} + \frac{1}{6}x)' = -6x^{-2} + \frac{1}{6} = -\frac{6}{x^2} + \frac{1}{6}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-\frac{6}{x^2} + \frac{1}{6} = 0$

$\frac{1}{6} = \frac{6}{x^2}$

$x^2 = 36$

$x_1 = -6$, $x_2 = 6$.

Это критические точки функции.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 6)$, $(6; +\infty)$. Знак $f'(x) = \frac{-36+x^2}{6x^2}$ определяется знаком числителя $(x^2 - 36)$.

- На интервале $(-\infty; -6)$: возьмем $x=-7$, $f'(-7) = -\frac{6}{(-7)^2} + \frac{1}{6} = -\frac{6}{49} + \frac{1}{6} = \frac{-36+49}{294} > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(-6; 0)$: возьмем $x=-1$, $f'(-1) = -\frac{6}{(-1)^2} + \frac{1}{6} = -6 + \frac{1}{6} < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(0; 6)$: возьмем $x=1$, $f'(1) = -\frac{6}{1^2} + \frac{1}{6} = -6 + \frac{1}{6} < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(6; +\infty)$: возьмем $x=7$, $f'(7) = -\frac{6}{7^2} + \frac{1}{6} = -\frac{6}{49} + \frac{1}{6} > 0$. Функция возрастает.

5. Из знаков производной следует, что:

- Промежутки возрастания: $(-\infty; -6]$ и $[6; +\infty)$.

- Промежутки убывания: $[-6; 0)$ и $(0; 6]$.

6. В точке $x = -6$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке $x = 6$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Точка максимума: $x_{max} = -6$.

Точка минимума: $x_{min} = 6$.

7. Найдем значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):

- Максимум функции: $y_{max} = f(-6) = \frac{6}{-6} + \frac{-6}{6} = -1 - 1 = -2$.

- Минимум функции: $y_{min} = f(6) = \frac{6}{6} + \frac{6}{6} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[6; +\infty)$, убывает на промежутках $[-6; 0)$ и $(0; 6]$; точка максимума $x_{max} = -6$, максимум функции $y_{max} = -2$; точка минимума $x_{min} = 6$, минимум функции $y_{min} = 2$.