Номер 48.23, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.23. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$:

1) $f(x) = 2\cos9x + 9x$;

2) $f(x) = -x^3 + 12x$.

1) Сначала найдем производную функции $f(x) = 2\cos9x + 9x$.

Используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (2\cos9x + 9x)' = 2 \cdot (-\sin9x) \cdot (9x)' + 9 = -18\sin9x + 9$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$-18\sin9x + 9 \geq 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-18\sin9x \geq -9$

Разделим обе части на -18, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin9x \leq \frac{-9}{-18}$

$\sin9x \leq \frac{1}{2}$

Обозначим $t = 9x$. Неравенство примет вид $\sin t \leq \frac{1}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является объединение промежутков. На единичной окружности синус (ордината точки) меньше или равен $\frac{1}{2}$ для углов, находящихся в интервале от $\frac{5\pi}{6}$ до $2\pi+\frac{\pi}{6}$ (или, что то же самое, от $-\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$). С учетом периодичности, решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leq t \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 9x$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leq 9x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 9:

$-\frac{7\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9} \leq x \leq \frac{\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{7\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9}; \frac{\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9}\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) Найдем производную функции $f(x) = -x^3 + 12x$.

$f'(x) = (-x^3 + 12x)' = -3x^2 + 12$.

Далее решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$-3x^2 + 12 \geq 0$

Разделим обе части неравенства на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 - 4 \leq 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x-2)(x+2) \leq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх, которая пересекает ось Ox в точках -2 и 2. Значения функции неположительны ($y \leq 0$) на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-2; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$.