Номер 49.2, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.2.

1) $y = 0.1x^3 - 1;$

2) $y = 0.5x^3 + 2;$

3) $y = 1 - \sqrt{x-2};$

4) $y = \sqrt{x+1} - 2.$

1) Для функции $y = 0,1x^3 - 1$ проведем подробный анализ.

Область определения: Функция является многочленом (кубической), поэтому она определена для всех действительных значений $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции для определения интервалов возрастания и убывания.

$y' = (0,1x^3 - 1)' = 0,1 \cdot 3x^2 - 0 = 0,3x^2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, производная $y' = 0,3x^2 \ge 0$ на всей области определения. Производная обращается в ноль только в точке $x=0$. Это означает, что функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

Область значений: Так как функция является непрерывной и строго возрастающей на $(-\infty; +\infty)$, а $\lim_{x\to-\infty} y = -\infty$ и $\lim_{x\to+\infty} y = +\infty$, область ее значений — все действительные числа.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$0,1x^3 - 1 = 0 \implies 0,1x^3 = 1 \implies x^3 = 10 \implies x = \sqrt[3]{10}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, нуль функции $x = \sqrt[3]{10}$.

2) Для функции $y = 0,5x^3 + 2$ проведем подробный анализ.

Область определения: Функция является многочленом (кубической), поэтому она определена для всех действительных значений $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции.

$y' = (0,5x^3 + 2)' = 0,5 \cdot 3x^2 + 0 = 1,5x^2$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, производная $y' = 1,5x^2 \ge 0$ на всей области определения. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

Область значений: Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой, область ее значений — все действительные числа.

$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$0,5x^3 + 2 = 0 \implies 0,5x^3 = -2 \implies x^3 = -4 \implies x = \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, нуль функции $x = -\sqrt[3]{4}$.

3) Для функции $y = 1 - \sqrt{x-2}$ проведем подробный анализ.

Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

$D(y) = [2; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции.

$y' = (1 - \sqrt{x-2})' = -\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Для всех $x$ из интервала $(2; +\infty)$ знаменатель $2\sqrt{x-2}$ положителен, значит, производная $y'$ отрицательна. Следовательно, функция строго убывает на всей своей области определения $[2; +\infty)$.

Область значений: Так как функция убывает, ее наибольшее значение достигается в начальной точке области определения, то есть при $x=2$.

$y(2) = 1 - \sqrt{2-2} = 1 - 0 = 1$.

При $x \to +\infty$, $\sqrt{x-2} \to +\infty$, и $y \to -\infty$. Таким образом, область значений функции — от $-\infty$ до $1$ включительно.

$E(y) = (-\infty; 1]$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$1 - \sqrt{x-2} = 0 \implies \sqrt{x-2} = 1 \implies x-2 = 1 \implies x = 3$.

Значение $x=3$ принадлежит области определения.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 1]$, функция убывает на $[2; +\infty)$, нуль функции $x = 3$.

4) Для функции $y = \sqrt{x+1} - 2$ проведем подробный анализ.

Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

$D(y) = [-1; +\infty)$.

Монотонность: Найдем производную функции.

$y' = (\sqrt{x+1} - 2)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

Для всех $x$ из интервала $(-1; +\infty)$ знаменатель $2\sqrt{x+1}$ положителен, значит, производная $y'$ положительна. Следовательно, функция строго возрастает на всей своей области определения $[-1; +\infty)$.

Область значений: Так как функция возрастает, ее наименьшее значение достигается в начальной точке области определения, то есть при $x=-1$.

$y(-1) = \sqrt{-1+1} - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x \to +\infty$, $\sqrt{x+1} \to +\infty$, и $y \to +\infty$. Таким образом, область значений функции — от $-2$ включительно до $+\infty$.

$E(y) = [-2; +\infty)$.

Нули функции: Найдем значение $x$, при котором $y=0$.

$\sqrt{x+1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 2 \implies x+1 = 4 \implies x = 3$.

Значение $x=3$ принадлежит области определения.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1; +\infty)$, область значений $E(y) = [-2; +\infty)$, функция возрастает на $[-1; +\infty)$, нуль функции $x = 3$.