Номер 48.22, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.22. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -x^3 + 1,5$;

2) $f(x) = -x^2 + 8.$

1) Для построения графика функции $y = f(x) = -x^3 + 1.5$ выполним следующие шаги:

1. Определим основной вид функции. Это кубическая функция, её базовый график — кубическая парабола $y = x^3$.

2. Проанализируем преобразования графика. График функции $y = -x^3 + 1.5$ получается из графика функции $y = x^3$ с помощью двух преобразований:

a) Симметричное отражение относительно оси Ox. Это преобразование соответствует знаку "минус" перед $x^3$ и дает нам промежуточную функцию $y = -x^3$.

b) Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Oy на 1,5 единицы вверх. Это преобразование соответствует прибавлению константы 1,5.

3. Найдем несколько ключевых точек для более точного построения. Для этого составим таблицу значений:

При $x = -2$, $y = -(-2)^3 + 1.5 = 8 + 1.5 = 9.5$

При $x = -1$, $y = -(-1)^3 + 1.5 = 1 + 1.5 = 2.5$

При $x = 0$, $y = -(0)^3 + 1.5 = 1.5$ (точка пересечения с осью Oy)

При $x = 1$, $y = -(1)^3 + 1.5 = -1 + 1.5 = 0.5$

При $x = 2$, $y = -(2)^3 + 1.5 = -8 + 1.5 = -6.5$

Найдем точку пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю:

$0 = -x^3 + 1.5 \implies x^3 = 1.5 \implies x = \sqrt[3]{1.5} \approx 1.14$.

4. Построим график. Сначала строим график $y = -x^3$, который проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, -1)$. Затем сдвигаем этот график на 1,5 единицы вверх. Точка $(0, 0)$ перейдет в $(0, 1.5)$, точка $(-1, 1)$ в $(-1, 2.5)$, а точка $(1, -1)$ в $(1, 0.5)$. Соединяем точки плавной линией, получая искомый график.

Ответ: График функции $y = -x^3 + 1.5$ — это кубическая парабола, полученная из графика $y = x^3$ путем его отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 1.5 единицы вверх по оси Oy. График проходит через точки $(-2, 9.5)$, $(-1, 2.5)$, $(0, 1.5)$, $(1, 0.5)$, $(2, -6.5)$.

2) Для построения графика функции $y = f(x) = -x^2 + 8$ выполним следующие шаги:

1. Определим основной вид функции. Это квадратичная функция, её график — парабола.

2. Проанализируем преобразования графика. График функции $y = -x^2 + 8$ получается из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью двух преобразований:

a) Симметричное отражение относительно оси Ox. Это преобразование соответствует знаку "минус" перед $x^2$ и дает нам промежуточную функцию $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз.

b) Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Oy на 8 единиц вверх. Это преобразование соответствует прибавлению константы 8.

3. Найдем ключевые характеристики и точки параболы.

a) Вершина параболы. Для функции $y = -x^2$, вершина находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 8 единиц вверх, вершина искомой параболы будет в точке $(0, 8)$.

b) Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось Oy).

c) Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1).

d) Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: $x = 0 \implies y = -0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$ — это вершина.

С осью Ox: $y = 0 \implies -x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$. (Приблизительно $x \approx \pm 2.83$).

4. Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси Oy:

При $x = \pm 1$, $y = -(\pm 1)^2 + 8 = -1 + 8 = 7$

При $x = \pm 2$, $y = -(\pm 2)^2 + 8 = -4 + 8 = 4$

При $x = \pm 3$, $y = -(\pm 3)^2 + 8 = -9 + 8 = -1$

5. Построим график. Отмечаем вершину $(0, 8)$ и точки из таблицы. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 8$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 8)$, ветви которой направлены вниз. График симметричен относительно оси Oy и пересекает ось Ox в точках $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$.