gdz.top
Номер 48.15, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер
Авторы: Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1183-9 (ч. 1) 978-601-07-1184-6 (ч. 2)
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 9. Применение производной. Параграф 48. Критические точки и точки экстремума - номер 48.15, страница 106.
№48.14
№48.15 (с. 106)
Условие. №48.15 (с. 106)
48.15.1) $f(x) = 5x - \frac{1}{x^2};$
2) $f(x) = -4x + \frac{1}{x^2}.$
Решение 2 (rus). №48.15 (с. 106)
1) Чтобы найти все первообразные для функции $f(x) = 5x - \frac{1}{x^2}$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной обозначается как $F(x)$.
Задача сводится к вычислению интеграла: $F(x) = \int (5x - \frac{1}{x^2}) \,dx$.
Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов), получаем:
$F(x) = \int 5x \,dx - \int \frac{1}{x^2} \,dx$.
Для удобства вычисления представим $\frac{1}{x^2}$ как $x^{-2}$. Тогда выражение примет вид:
$F(x) = 5 \int x \,dx - \int x^{-2} \,dx$.
Теперь воспользуемся табличной формулой для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Для первого интеграла $n=1$: $\int x^1 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.
Для второго интеграла $n=-2$: $\int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Подставим найденные выражения обратно в формулу для $F(x)$ и добавим одну общую константу интегрирования $C$:
$F(x) = 5 \cdot (\frac{x^2}{2}) - (-\frac{1}{x}) + C = \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{x} + C$.
2) Аналогично найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = -4x + \frac{1}{x^2}$.
Вычислим неопределенный интеграл: $F(x) = \int (-4x + \frac{1}{x^2}) \,dx$.
Применим свойство линейности интеграла:
$F(x) = \int -4x \,dx + \int \frac{1}{x^2} \,dx = -4 \int x \,dx + \int x^{-2} \,dx$.
Используем ту же формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Для первого слагаемого, где $n=1$, интеграл равен $\frac{x^2}{2}$.
Для второго слагаемого, где $n=-2$, интеграл равен $-\frac{1}{x}$.
Собираем все вместе, не забывая про константу интегрирования $C$:
$F(x) = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + (-\frac{1}{x}) + C = -2x^2 - \frac{1}{x} + C$.
Ответ: $F(x) = -2x^2 - \frac{1}{x} + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 48.15 расположенного на странице 106 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №48.15 (с. 106), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Кучер (Татьяна Павловна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), 2-й части учебного пособия издательства Мектеп.