Номер 48.18, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.18. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции:

1) $y = 0.5x^4 - 4x^2 + 20;$

2) $y = -x^4 - 24x^2 - 5;$

3) $y = -2x^4 - 16x^2 + 1.$

1) $y = 0.5x^4 - 4x^2 + 20$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, исследуем функцию с помощью её производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Найдём производную функции: $y' = (0.5x^4 - 4x^2 + 20)' = 0.5 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x$.

Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$2x^3 - 8x = 0$

$2x(x^2 - 4) = 0$

$2x(x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы найти промежутки монотонности функции.

На интервале $(-\infty; -2)$, при $x=-3$, $y'(-3) = 2(-3)^3 - 8(-3) = -54 + 24 = -30 < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(-2; 0)$, при $x=-1$, $y'(-1) = 2(-1)^3 - 8(-1) = -2 + 8 = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; 2)$, при $x=1$, $y'(1) = 2(1)^3 - 8(1) = 2 - 8 = -6 < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(2; +\infty)$, при $x=3$, $y'(3) = 2(3)^3 - 8(3) = 54 - 24 = 30 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(-2) = 0.5(-2)^4 - 4(-2)^2 + 20 = 8 - 16 + 20 = 12$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = 0.5(0)^4 - 4(0)^2 + 20 = 20$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(2) = 0.5(2)^4 - 4(2)^2 + 20 = 8 - 16 + 20 = 12$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$; точки минимума $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 2$, точка максимума $x_{max} = 0$.

2) $y = -x^4 - 24x^2 - 5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (-x^4 - 24x^2 - 5)' = -4x^3 - 48x$.

Найдём критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-4x^3 - 48x = 0$

$-4x(x^2 + 12) = 0$

Так как выражение $x^2 + 12$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), единственным решением является $x=0$. Это единственная критическая точка.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$, при $x=-1$, $y'(-1) = -4(-1)( (-1)^2 + 12) = 4 \cdot 13 = 52 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; +\infty)$, при $x=1$, $y'(1) = -4(1)(1^2 + 12) = -4 \cdot 13 = -52 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = -(0)^4 - 24(0)^2 - 5 = -5$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$.

3) $y = -2x^4 - 16x^2 + 1$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (-2x^4 - 16x^2 + 1)' = -8x^3 - 32x$.

Найдём критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-8x^3 - 32x = 0$

$-8x(x^2 + 4) = 0$

Так как выражение $x^2 + 4$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), единственным решением является $x=0$. Это единственная критическая точка.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$, при $x=-1$, $y'(-1) = -8(-1)( (-1)^2 + 4) = 8 \cdot 5 = 40 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; +\infty)$, при $x=1$, $y'(1) = -8(1)(1^2 + 4) = -8 \cdot 5 = -40 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = -2(0)^4 - 16(0)^2 + 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$.