Страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F(-\frac{\pi}{4}; 1)$, если известно, что она получена в результате:

1) растяжения графика функции $y = tgx$ вдоль оси $Ox$ в 4 раза?

2) сжатия графика функции $y = tgx$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза?

2. Сравните периоды функций $y = 2 ctgx$ и $y = ctgx$, если они заданы на всей области их определения.

1. Исходная точка $F$ имеет координаты $(\frac{\pi}{4}; 1)$. Преобразования графика функции влияют на координаты каждой точки $(x; y)$ этого графика.

1) Растяжение графика функции $y=\tg x$ вдоль оси $Ox$ в 4 раза.

При таком преобразовании каждая точка графика $(x; y)$ переходит в точку $(4x; y)$. Абсцисса умножается на 4, а ордината остается неизменной.

Для точки $F(\frac{\pi}{4}; 1)$ новые координаты точки $F_1$ вычисляются следующим образом:

$x_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$

$y_1 = 1$

Таким образом, новые координаты точки $F_1$ будут $(\pi; 1)$.

Ответ: $(\pi; 1)$.

2) Сжатие графика функции $y=\tg x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

При таком преобразовании каждая точка графика $(x; y)$ переходит в точку $(x; \frac{y}{3})$. Абсцисса остается неизменной, а ордината делится на 3.

Для точки $F(\frac{\pi}{4}; 1)$ новые координаты точки $F_1$ вычисляются следующим образом:

$x_1 = \frac{\pi}{4}$

$y_1 = \frac{1}{3}$

Таким образом, новые координаты точки $F_1$ будут $(\frac{\pi}{4}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4}; \frac{1}{3})$.

2. Для сравнения периодов функций $y = 2\ctg x$ и $y = \ctg x$ необходимо определить период каждой из них. Период функции вида $y = A \cdot f(kx+b)$ находится по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$, где $T$ — основной период функции $y=f(x)$.

Основной период функции $y = \ctg x$ равен $T = \pi$.

Для функции $y = \ctg x$ коэффициенты $A=1$ и $k=1$. Ее период равен $T_1 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Для функции $y = 2\ctg x$ коэффициенты $A=2$ и $k=1$. Коэффициент $A=2$ означает растяжение графика вдоль оси $Oy$ и не влияет на его период. Период этой функции равен $T_2 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Следовательно, периоды данных функций равны.

Ответ: Периоды функций $y = 2\ctg x$ и $y = \ctg x$ равны между собой и составляют $\pi$.

13.1. Докажите, что является четной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^2\text{tg}^2x;$

2) $f(x) = x^4\text{ctg}^2x;$

3) $f(x) = -\text{ctg}(-x)^2 - 5;$

4) $f(x) = x\text{tg}^3x;$

5) $f(x) = \frac{\text{ctg}5x}{x^3 - 4x} - \text{cos}3x;$

6) $f(x) = \frac{\text{tg}3x}{x^5 - 9x} + \text{cosx}.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = f(x)$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

1) $f(x) = x^2\operatorname{tg}^2x$

Область определения функции $D(f)$ задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)^2\operatorname{tg}^2(-x)$.

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$, то $\operatorname{tg}^2(-x) = (-\operatorname{tg}x)^2 = \operatorname{tg}^2x$.

Следовательно, $f(-x) = x^2\operatorname{tg}^2x = f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^4\operatorname{ctg}^2x$

Область определения функции $D(f)$ задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)^4\operatorname{ctg}^2(-x)$.

Так как $(-x)^4 = x^4$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$, то $\operatorname{ctg}^2(-x) = (-\operatorname{ctg}x)^2 = \operatorname{ctg}^2x$.

Следовательно, $f(-x) = x^4\operatorname{ctg}^2x = f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = -\operatorname{ctg}(-x)^2 - 5$

Область определения $D(f)$ задается условием $\sin(-x) \neq 0$, что эквивалентно $-\sin x \neq 0$ или $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$. Для этого найдем $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходное выражение:

$f(-x) = -\operatorname{ctg}(-(-x))^2 - 5 = -\operatorname{ctg}(x)^2 - 5 = -\operatorname{ctg}^2x - 5$.

Теперь упростим исходное выражение для $f(x)$, используя свойство нечетности котангенса $\operatorname{ctg}(-u) = -\operatorname{ctg}u$:

$f(x) = -(\operatorname{ctg}(-x))^2 - 5 = -(-\operatorname{ctg}x)^2 - 5 = -\operatorname{ctg}^2x - 5$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $f(-x) = f(x)$. Функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = x\operatorname{tg}^3x$

Область определения функции $D(f)$ задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)\operatorname{tg}^3(-x)$.

Так как $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$, то $\operatorname{tg}^3(-x) = (-\operatorname{tg}x)^3 = -\operatorname{tg}^3x$.

Следовательно, $f(-x) = (-x)(-\operatorname{tg}^3x) = x\operatorname{tg}^3x = f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}5x}{x^3 - 4x} - \cos3x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $\sin 5x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi k}{5}$) и $x^3 - 4x \neq 0$ (т.е. $x(x^2 - 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0, x \neq \pm 2$). Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(5(-x))}{(-x)^3 - 4(-x)} - \cos(3(-x))$.

Используем свойства функций: $\operatorname{ctg}(-u) = -\operatorname{ctg}u$, $\cos(-u) = \cos u$.

$f(-x) = \frac{-\operatorname{ctg}5x}{-x^3 + 4x} - \cos3x = \frac{-\operatorname{ctg}5x}{-(x^3 - 4x)} - \cos3x = \frac{\operatorname{ctg}5x}{x^3 - 4x} - \cos3x = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}3x}{x^5 - 9x} + \cos x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $\cos 3x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$) и $x^5 - 9x \neq 0$ (т.е. $x(x^4 - 9) \neq 0$, откуда $x \neq 0, x \neq \pm\sqrt{3}$). Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)} + \cos(-x)$.

Используем свойства функций: $\operatorname{tg}(-u) = -\operatorname{tg}u$, $\cos(-u) = \cos u$.

$f(-x) = \frac{-\operatorname{tg}3x}{-x^5 + 9x} + \cos x = \frac{-\operatorname{tg}3x}{-(x^5 - 9x)} + \cos x = \frac{\operatorname{tg}3x}{x^5 - 9x} + \cos x = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

13.2. Докажите, что является нечетной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^3 + \text{ctg}2x;$

2) $f(x) = x^5\text{tg}^2x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\text{tg}^3x;$

4) $f(x) = 2x - \text{tg}^3x;$

5) $f(x) = \frac{\text{ctg}5x}{x^4 - 4} - x;$

6) $f(x) = \frac{\text{tg}6x}{x^2 - 9} + \sin3x.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = x^3 + \operatorname{ctg}2x$

Область определения $D(f)$ задается условием существования котангенса: $\sin(2x) \neq 0$, что означает $2x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi k}{2}$. Эта область определения симметрична относительно нуля, поскольку если $x_0 \neq \frac{\pi k}{2}$, то и $-x_0 \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 + \operatorname{ctg}(2(-x)) = -x^3 + \operatorname{ctg}(-2x)$.

Используем свойства нечетности степенной функции с нечетным показателем ($(-x)^3 = -x^3$) и функции котангенс ($\operatorname{ctg}(-z) = -\operatorname{ctg}z$):

$f(-x) = -x^3 - \operatorname{ctg}(2x) = -(x^3 + \operatorname{ctg}(2x)) = -f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^5\operatorname{tg}^2x$

Область определения $D(f)$ задается условием существования тангенса: $\cos(x) \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \operatorname{tg}^2(-x) = -x^5 (\operatorname{tg}(-x))^2$.

Так как тангенс — нечетная функция ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$), то его квадрат — четная функция: $(\operatorname{tg}(-x))^2 = (-\operatorname{tg}x)^2 = \operatorname{tg}^2x$. Степенная функция $x^5$ является нечетной.

$f(-x) = -x^5 \operatorname{tg}^2x = -f(x)$.

Функция является произведением нечетной функции ($x^5$) и четной ($\operatorname{tg}^2x$), поэтому она нечетная. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = (2 - x^2)\operatorname{tg}^3x$

Область определения $D(f)$ такая же, как в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\operatorname{tg}^3(-x) = (2 - x^2) (\operatorname{tg}(-x))^3$.

Множитель $(2 - x^2)$ является четной функцией. Функция $\operatorname{tg}^3x$ является нечетной, так как $\operatorname{tg}^3(-x) = (\operatorname{tg}(-x))^3 = (-\operatorname{tg}x)^3 = -\operatorname{tg}^3x$.

$f(-x) = (2 - x^2)(-\operatorname{tg}^3x) = -(2 - x^2)\operatorname{tg}^3x = -f(x)$.

Функция является произведением четной и нечетной функций, следовательно, она нечетная. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}^3x$

Область определения $D(f)$ та же, что и в пунктах 2 и 3: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x) - \operatorname{tg}^3(-x) = -2x - (-\operatorname{tg}^3x) = -2x + \operatorname{tg}^3x = -(2x - \operatorname{tg}^3x) = -f(x)$.

Функция представляет собой разность двух нечетных функций ($2x$ и $\operatorname{tg}^3x$), поэтому она является нечетной. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}5x}{x^4 - 4} - x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $x^4 - 4 \neq 0$ (то есть $x \neq \pm\sqrt{2}$) и $\sin(5x) \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi k}{5}$ для $k \in \mathbb{Z}$). Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(5(-x))}{(-x)^4 - 4} - (-x) = \frac{-\operatorname{ctg}(5x)}{x^4 - 4} + x = - \left( \frac{\operatorname{ctg}(5x)}{x^4 - 4} - x \right) = -f(x)$.

Здесь мы использовали, что $\operatorname{ctg}(-5x) = -\operatorname{ctg}(5x)$ (нечетная функция), а $x^4-4$ — четная функция. Их частное — нечетная функция. Функция $y=x$ также нечетная. Разность двух нечетных функций является нечетной функцией. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}6x}{x^2 - 9} + \sin 3x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $x^2 - 9 \neq 0$ (то есть $x \neq \pm3$) и $\cos(6x) \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}$ для $k \in \mathbb{Z}$). Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(6(-x))}{(-x)^2 - 9} + \sin(3(-x)) = \frac{-\operatorname{tg}(6x)}{x^2 - 9} - \sin(3x) = - \left( \frac{\operatorname{tg}(6x)}{x^2 - 9} + \sin(3x) \right) = -f(x)$.

Первое слагаемое является частным нечетной функции ($\operatorname{tg}6x$) и четной ($x^2-9$), то есть является нечетной функцией. Второе слагаемое ($\sin3x$) также является нечетной функцией. Сумма двух нечетных функций является нечетной функцией. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

13.3. Докажите, что функция $y = \text{tg}2x$ является возрастающей на множестве:

1) $(-\frac{\pi}{4} + 0,5 \pi k; \frac{\pi}{4} + 0,5 \pi k)$, $k \in Z$;

2) $(\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \pi k; \frac{5\pi}{4} + \frac{1}{2} \pi k)$, $k \in Z$.

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном множестве, достаточно показать, что её производная положительна на этом множестве. Рассмотрим функцию $y = \tan(2x)$.

Найдем её производную, используя правило дифференцирования сложной функции: $y' = (\tan(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Проанализируем знак производной. Числитель дроби $y'$ равен 2 (положительное число). Знаменатель $\cos^2(2x)$ является квадратом действительного числа и, следовательно, положителен для всех $x$, при которых он не равен нулю. Производная (и сама функция) не определена в точках, где $\cos(2x) = 0$, то есть при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, или $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$. Во всех остальных точках производная $y' = \frac{2}{\cos^2(2x)} > 0$. Это означает, что функция $y = \tan(2x)$ возрастает на каждом интервале, на котором она непрерывна.

1) Рассмотрим множество интервалов $(-\frac{\pi}{4} + 0,5\pi k; \frac{\pi}{4} + 0,5\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Заметим, что $0.5\pi = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2})$. Эти интервалы в точности соответствуют интервалам непрерывности функции $y=\tan(2x)$, так как их концами являются соседние точки разрыва (вертикальные асимптоты) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k-1)}{2}$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Поскольку производная функции положительна на каждом из этих интервалов, функция $y = \tan(2x)$ является возрастающей на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Рассмотрим множество интервалов $(\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k; \frac{5\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Покажем, что каждый из этих интервалов является интервалом непрерывности функции. Для этого преобразуем границы интервала.

Левая граница: $\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi + 2\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi(k+1)}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+1)}{2}$.

Правая граница: $\frac{5\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k = \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi + 4\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi(k+2)}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+2)}{2}$.

Таким образом, интервал имеет вид $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+1)}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+2)}{2})$. Обозначив $m = k+1$, мы видим, что это интервал вида $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(m+1)}{2})$, который является интервалом между двумя последовательными точками разрыва. Следовательно, на этом множестве интервалов функция непрерывна и ее производная положительна. Это доказывает, что функция $y = \tan(2x)$ является возрастающей на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

13.4. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\text{tg}2x;$

2) $y = \text{ctg}4x;$

3) $y = \frac{2}{3}\text{ctg}3x + 1.$

Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = A \cdot f(kx + b) + C$, где $f(x)$ является одной из тригонометрических функций, используется общая формула. Наименьший положительный период $T_0$ для базовых функций $y = \text{tg}(x)$ и $y = \text{ctg}(x)$ равен $\pi$. Период $T$ преобразованной функции находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $k$ — это коэффициент при переменной $x$ в аргументе функции. Коэффициент $A$ (отвечающий за растяжение/сжатие по вертикали) и слагаемое $C$ (отвечающее за сдвиг по вертикали) на период функции не влияют.

1) $y = 2\text{tg}2x;$

Для функции $y = 2\text{tg}2x$ мы имеем дело с функцией тангенса. Базовый период для тангенса $T_0 = \pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=2$.

Применяем формулу для нахождения периода:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) $y = \text{ctg}4x;$

Для функции $y = \text{ctg}4x$ мы имеем дело с функцией котангенса. Базовый период для котангенса $T_0 = \pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=4$.

Применяем формулу для нахождения периода:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|4|} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) $y = \frac{2}{3}\text{ctg}3x + 1.$

Для функции $y = \frac{2}{3}\text{ctg}3x + 1$ мы имеем дело с функцией котангенса. Базовый период для котангенса $T_0 = \pi$. Коэффициент при аргументе $x$ равен $k=3$. Множитель $\frac{2}{3}$ и слагаемое $1$ не влияют на значение периода.

Применяем формулу для нахождения периода:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

13.5. Найдите наименьший положительный период:

1) $y = \operatorname{tg}x + \sin3x;$

2) $y = \operatorname{ctg}2x - 2\cos x;$

3) $y = \operatorname{tg}\frac{1}{3}x + 1.$

1) Чтобы найти наименьший положительный период функции $y = \tg x + \sin 3x$, нужно найти наименьшие положительные периоды для каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Функция $f(x) = \tg x$ имеет наименьший положительный период $T_1 = \pi$.

Для функции $g(x) = \sin(kx)$ наименьший положительный период вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае для $g(x) = \sin 3x$ имеем $k=3$, следовательно, период $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, \frac{2\pi}{3})$. Чтобы найти НОК, мы ищем наименьшие натуральные числа $n$ и $m$, для которых выполняется равенство $n \cdot T_1 = m \cdot T_2 = T$.

$n \cdot \pi = m \cdot \frac{2\pi}{3}$

Разделив обе части на $\pi$, получим: $n = \frac{2m}{3}$

Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению, — это $m=3$ и $n=2$.

Тогда наименьший положительный период $T = n \cdot T_1 = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Проверка через $m$: $T = m \cdot T_2 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) Для функции $y = \ctg 2x - 2\cos x$ действуем аналогично. Функция представляет собой разность двух периодических функций.

Для функции $f(x) = \ctg 2x$ наименьший положительный период вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k=2$, поэтому $T_1 = \frac{\pi}{2}$.

Для функции $g(x) = -2\cos x$ период такой же, как и у функции $\cos x$, так как умножение на константу не влияет на период. Период $T_2 = 2\pi$.

Находим наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{2}, 2\pi)$.

Ищем наименьшие натуральные числа $n$ и $m$, для которых $n \cdot T_1 = m \cdot T_2 = T$.

$n \cdot \frac{\pi}{2} = m \cdot 2\pi$

Разделив обе части на $\pi$, получим: $\frac{n}{2} = 2m$, или $n = 4m$.

Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению, — это $m=1$ и $n=4$.

Тогда наименьший положительный период $T = m \cdot T_2 = 1 \cdot 2\pi = 2\pi$.

Проверка через $n$: $T = n \cdot T_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

3) Функция $y = \tg \frac{1}{3}x + 1$ получена из функции $f(x) = \tg \frac{1}{3}x$ сдвигом вверх на 1. Сдвиг вдоль оси ординат не влияет на период функции.

Следовательно, период функции $y$ равен периоду функции $f(x) = \tg \frac{1}{3}x$.

Наименьший положительный период функции $\tg(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = \frac{1}{3}$.

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.

13.6. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = \sin2x - \operatorname{ctg}0,5x;$

2) $y = \operatorname{tg}5x - \operatorname{tg}x;$

3) $y = \frac{2}{3}\operatorname{tg}4x + \cos2x;$

4) $y = 2 - 5\operatorname{ctg}2x;$

5) $y = \operatorname{tg}4x - \cos4x;$

6) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{3} + \operatorname{ctg}\frac{x}{3}.$

1) Период функции $y = \sin(2x) - \text{ctg}(0,5x)$ равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов функций $f(x) = \sin(2x)$ и $g(x) = \text{ctg}(0,5x)$.

Наименьший положительный период функции $\sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $f(x) = \sin(2x)$ период $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Наименьший положительный период функции $\text{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $g(x) = \text{ctg}(0,5x) = \text{ctg}(\frac{1}{2}x)$ период $T_2 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Теперь найдем НОК этих периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) Период функции $y = \text{tg}(5x) - \text{tg}(x)$ равен НОК периодов функций $f(x) = \text{tg}(5x)$ и $g(x) = \text{tg}(x)$.

Наименьший положительный период функции $\text{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для $f(x) = \text{tg}(5x)$ период $T_1 = \frac{\pi}{5}$.

Для $g(x) = \text{tg}(x)$ период $T_2 = \pi$.

Найдем НОК периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{5}, \pi)$. Для периодов вида $\frac{a}{b}\pi$ и $\frac{c}{d}\pi$ НОК находится по формуле $\frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}\pi$.

$T = \text{НОК}(\frac{1}{5}\pi, \frac{1}{1}\pi) = \frac{\text{НОК}(1, 1)}{\text{НОД}(5, 1)}\pi = \frac{1}{1}\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) Период функции $y = \frac{2}{3}\text{tg}(4x) + \cos(2x)$ равен НОК периодов функций $f(x) = \frac{2}{3}\text{tg}(4x)$ и $g(x) = \cos(2x)$.

Период функции $f(x)$ определяется функцией $\text{tg}(4x)$ и равен $T_1 = \frac{\pi}{4}$.

Период функции $g(x) = \cos(2x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Найдем НОК периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \pi) = \text{НОК}(\frac{1}{4}\pi, 1\pi) = \frac{\text{НОК}(1, 1)}{\text{НОД}(4, 1)}\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) В функции $y = 2 - 5\text{ctg}(2x)$ слагаемое $2$ и множитель $-5$ не влияют на период. Период определяется только функцией $\text{ctg}(2x)$.

Наименьший положительный период функции $\text{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для $\text{ctg}(2x)$ период $T = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

5) Период функции $y = \text{tg}(4x) - \cos(4x)$ равен НОК периодов функций $f(x) = \text{tg}(4x)$ и $g(x) = \cos(4x)$.

Период функции $f(x) = \text{tg}(4x)$ равен $T_1 = \frac{\pi}{4}$.

Период функции $g(x) = \cos(4x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Найдем НОК периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) = \text{НОК}(\frac{1}{4}\pi, \frac{1}{2}\pi) = \frac{\text{НОК}(1, 1)}{\text{НОД}(4, 2)}\pi = \frac{1}{2}\pi = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

6) Для функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + \text{ctg}\frac{x}{3}$ можно найти период, упростив выражение.

$y = \frac{\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\sin\frac{x}{3}} = \frac{\sin^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3}}{\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$y = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\cdot\frac{x}{3})} = \frac{2}{\sin(\frac{2x}{3})}$.

Период этой функции совпадает с периодом функции $\sin(\frac{2x}{3})$.

Наименьший положительный период функции $\sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Следовательно, $T = \frac{2\pi}{|2/3|} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.

Найдите экстремумы функции $y = f(x)$ (48.14–48.15):

48.14.1) $f(x) = \frac{2}{x} + x^2$;

2) $f(x) = -\frac{3}{x} - 3x^2$;

3) $f(x) = -\frac{2}{x} - \frac{x^2}{2}$.

1) $f(x) = \frac{2}{x} + x^2$

1. Найдём область определения функции. Так как в знаменателе находится переменная $x$, то $x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции для определения точек экстремума.

$f'(x) = (\frac{2}{x} + x^2)' = (2x^{-1} + x^2)' = -2x^{-2} + 2x = -\frac{2}{x^2} + 2x$.

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки.

$f'(x) = 0$

$-\frac{2}{x^2} + 2x = 0$

$2x = \frac{2}{x^2}$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается стационарной точкой $x=1$ и точкой разрыва $x=0$. Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

$f'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^2}$. Знак производной определяется знаком выражения $2x^3 - 2$.

- На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, $x=1$ является точкой локального минимума.

6. Вычислим значение функции в этой точке, чтобы найти минимум функции.

$y_{min} = f(1) = \frac{2}{1} + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $y_{min} = f(1) = 3$.

2) $f(x) = -\frac{3}{x} - 3x^2$

1. Область определения функции: $x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

$f'(x) = (-\frac{3}{x} - 3x^2)' = (-3x^{-1} - 3x^2)' = 3x^{-2} - 6x = \frac{3}{x^2} - 6x$.

3. Найдём стационарные точки.

$f'(x) = 0$

$\frac{3}{x^2} - 6x = 0$

$\frac{3}{x^2} = 6x$

$3 = 6x^3$

$x^3 = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

4. Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{3 - 6x^3}{x^2}$. Знак зависит от числителя $3 - 6x^3$.

- На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \frac{1}{\sqrt[3]{2}})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума.

6. Вычислим значение максимума функции.

$y_{max} = f(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = -\frac{3}{1/\sqrt[3]{2}} - 3(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 = -3\sqrt[3]{2} - \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$.

Приведём выражение к общему знаменателю:

$y_{max} = \frac{-3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4} - 3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{-3\sqrt[3]{8} - 3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{-3 \cdot 2 - 3}{\sqrt[3]{4}} = -\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$.

Ответ: $y_{max} = f(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = -\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$.

3) $f(x) = -\frac{2}{x} - \frac{x^2}{2}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

$f'(x) = (-\frac{2}{x} - \frac{x^2}{2})' = (-2x^{-1} - \frac{1}{2}x^2)' = 2x^{-2} - x = \frac{2}{x^2} - x$.

3. Найдём стационарные точки.

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x^2} - x = 0$

$\frac{2}{x^2} = x$

$x^3 = 2$

$x = \sqrt[3]{2}$.

4. Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{2 - x^3}{x^2}$. Знак зависит от числителя $2 - x^3$.

- На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \sqrt[3]{2})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(\sqrt[3]{2}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x = \sqrt[3]{2}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума.

6. Вычислим значение максимума функции.

$y_{max} = f(\sqrt[3]{2}) = -\frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{(\sqrt[3]{2})^2}{2} = -\frac{2}{2^{1/3}} - \frac{2^{2/3}}{2} = -2^{1-1/3} - 2^{2/3-1} = -2^{2/3} - 2^{-1/3}$.

Преобразуем выражение:

$y_{max} = -\sqrt[3]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2} + 1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\sqrt[3]{8} + 1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{2 + 1}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$.

Ответ: $y_{max} = f(\sqrt[3]{2}) = -\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$.

48.15.1) $f(x) = 5x - \frac{1}{x^2};$

2) $f(x) = -4x + \frac{1}{x^2}.$

1) Чтобы найти все первообразные для функции $f(x) = 5x - \frac{1}{x^2}$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной обозначается как $F(x)$.

Задача сводится к вычислению интеграла: $F(x) = \int (5x - \frac{1}{x^2}) \,dx$.

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов), получаем:

$F(x) = \int 5x \,dx - \int \frac{1}{x^2} \,dx$.

Для удобства вычисления представим $\frac{1}{x^2}$ как $x^{-2}$. Тогда выражение примет вид:

$F(x) = 5 \int x \,dx - \int x^{-2} \,dx$.

Теперь воспользуемся табличной формулой для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для первого интеграла $n=1$: $\int x^1 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Для второго интеграла $n=-2$: $\int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Подставим найденные выражения обратно в формулу для $F(x)$ и добавим одну общую константу интегрирования $C$:

$F(x) = 5 \cdot (\frac{x^2}{2}) - (-\frac{1}{x}) + C = \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{x} + C$.

2) Аналогично найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = -4x + \frac{1}{x^2}$.

Вычислим неопределенный интеграл: $F(x) = \int (-4x + \frac{1}{x^2}) \,dx$.

Применим свойство линейности интеграла:

$F(x) = \int -4x \,dx + \int \frac{1}{x^2} \,dx = -4 \int x \,dx + \int x^{-2} \,dx$.

Используем ту же формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для первого слагаемого, где $n=1$, интеграл равен $\frac{x^2}{2}$.

Для второго слагаемого, где $n=-2$, интеграл равен $-\frac{1}{x}$.

Собираем все вместе, не забывая про константу интегрирования $C$:

$F(x) = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + (-\frac{1}{x}) + C = -2x^2 - \frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -2x^2 - \frac{1}{x} + C$.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции $y = f(x)$ (48.16–48.17):

48.16. 1) $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$;

2) $f(x) = \frac{6}{x} + \frac{x}{6}$.

1) $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Так как в знаменателе есть $x$, то $x \neq 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5}\right)' = (5x^{-1} - \frac{1}{5}x)' = 5 \cdot (-1)x^{-2} - \frac{1}{5} = -\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}$.

3. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5} = 0$

$-\frac{5}{x^2} = \frac{1}{5}$

$x^2 = -25$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это означает, что у функции нет стационарных точек.

4. Проанализируем знак производной на всей области определения. Выражение для производной $f'(x) = -\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}$.

Для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, следовательно, $\frac{5}{x^2} > 0$, а $-\frac{5}{x^2} < 0$. Так как $-\frac{1}{5}$ также отрицательное число, то их сумма $f'(x) = -\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}$ всегда отрицательна для любого $x \in D(f)$.

5. Поскольку $f'(x) < 0$ на всей области определения, функция является убывающей на каждом из промежутков своей области определения. Так как производная нигде не равна нулю и не меняет знак, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$; промежутков возрастания и точек экстремума нет.

2) $f(x) = \frac{6}{x} + \frac{x}{6}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{6}{x} + \frac{x}{6}\right)' = (6x^{-1} + \frac{1}{6}x)' = -6x^{-2} + \frac{1}{6} = -\frac{6}{x^2} + \frac{1}{6}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-\frac{6}{x^2} + \frac{1}{6} = 0$

$\frac{1}{6} = \frac{6}{x^2}$

$x^2 = 36$

$x_1 = -6$, $x_2 = 6$.

Это критические точки функции.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 6)$, $(6; +\infty)$. Знак $f'(x) = \frac{-36+x^2}{6x^2}$ определяется знаком числителя $(x^2 - 36)$.

- На интервале $(-\infty; -6)$: возьмем $x=-7$, $f'(-7) = -\frac{6}{(-7)^2} + \frac{1}{6} = -\frac{6}{49} + \frac{1}{6} = \frac{-36+49}{294} > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(-6; 0)$: возьмем $x=-1$, $f'(-1) = -\frac{6}{(-1)^2} + \frac{1}{6} = -6 + \frac{1}{6} < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(0; 6)$: возьмем $x=1$, $f'(1) = -\frac{6}{1^2} + \frac{1}{6} = -6 + \frac{1}{6} < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(6; +\infty)$: возьмем $x=7$, $f'(7) = -\frac{6}{7^2} + \frac{1}{6} = -\frac{6}{49} + \frac{1}{6} > 0$. Функция возрастает.

5. Из знаков производной следует, что:

- Промежутки возрастания: $(-\infty; -6]$ и $[6; +\infty)$.

- Промежутки убывания: $[-6; 0)$ и $(0; 6]$.

6. В точке $x = -6$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке $x = 6$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Точка максимума: $x_{max} = -6$.

Точка минимума: $x_{min} = 6$.

7. Найдем значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):

- Максимум функции: $y_{max} = f(-6) = \frac{6}{-6} + \frac{-6}{6} = -1 - 1 = -2$.

- Минимум функции: $y_{min} = f(6) = \frac{6}{6} + \frac{6}{6} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[6; +\infty)$, убывает на промежутках $[-6; 0)$ и $(0; 6]$; точка максимума $x_{max} = -6$, максимум функции $y_{max} = -2$; точка минимума $x_{min} = 6$, минимум функции $y_{min} = 2$.

48.17.1) $f(x) = \frac{x}{x+7}+3;$

2) $f(x) = \frac{x}{x-8}-6.$

1) Чтобы найти функцию, обратную к данной функции $f(x) = \frac{x}{x+7} + 3$, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала упростим исходное выражение, приведя его к общему знаменателю:

$f(x) = \frac{x}{x+7} + \frac{3(x+7)}{x+7} = \frac{x + 3x + 21}{x+7} = \frac{4x + 21}{x+7}$

Теперь у нас есть функция $f(x) = \frac{4x + 21}{x+7}$. Для нахождения обратной функции, обозначим $f(x)$ как $y$:

$y = \frac{4x + 21}{x+7}$

Поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы выразить старую переменную $x$ через новую $y$. Но для удобства записи мы сразу меняем их в уравнении:

$x = \frac{4y + 21}{y+7}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$x(y+7) = 4y + 21$

$xy + 7x = 4y + 21$

Сгруппируем все члены, содержащие $y$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$xy - 4y = 21 - 7x$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(x-4) = 21 - 7x$

Разделим обе части на $(x-4)$, чтобы найти $y$:

$y = \frac{21 - 7x}{x-4}$

Заменив $y$ на $f^{-1}(x)$, получаем выражение для обратной функции.

Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{21 - 7x}{x-4}$

2) Аналогично первому пункту, найдем обратную функцию для $f(x) = \frac{x}{x-8} - 6$. Сначала упростим выражение:

$f(x) = \frac{x}{x-8} - \frac{6(x-8)}{x-8} = \frac{x - (6x - 48)}{x-8} = \frac{x - 6x + 48}{x-8} = \frac{-5x + 48}{x-8}$

Итак, $f(x) = \frac{-5x + 48}{x-8}$. Обозначим $f(x)$ как $y$:

$y = \frac{-5x + 48}{x-8}$

Поменяем местами $x$ и $y$:

$x = \frac{-5y + 48}{y-8}$

Решим уравнение относительно $y$:

$x(y-8) = -5y + 48$

$xy - 8x = -5y + 48$

Сгруппируем члены с $y$:

$xy + 5y = 8x + 48$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(x+5) = 8x + 48$

Найдем $y$:

$y = \frac{8x + 48}{x+5}$

Следовательно, обратная функция имеет вид:

Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{8x + 48}{x+5}$

48.18. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции:

1) $y = 0.5x^4 - 4x^2 + 20;$

2) $y = -x^4 - 24x^2 - 5;$

3) $y = -2x^4 - 16x^2 + 1.$

1) $y = 0.5x^4 - 4x^2 + 20$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, исследуем функцию с помощью её производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Найдём производную функции: $y' = (0.5x^4 - 4x^2 + 20)' = 0.5 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x$.

Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$2x^3 - 8x = 0$

$2x(x^2 - 4) = 0$

$2x(x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы найти промежутки монотонности функции.

На интервале $(-\infty; -2)$, при $x=-3$, $y'(-3) = 2(-3)^3 - 8(-3) = -54 + 24 = -30 < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(-2; 0)$, при $x=-1$, $y'(-1) = 2(-1)^3 - 8(-1) = -2 + 8 = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; 2)$, при $x=1$, $y'(1) = 2(1)^3 - 8(1) = 2 - 8 = -6 < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(2; +\infty)$, при $x=3$, $y'(3) = 2(3)^3 - 8(3) = 54 - 24 = 30 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(-2) = 0.5(-2)^4 - 4(-2)^2 + 20 = 8 - 16 + 20 = 12$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = 0.5(0)^4 - 4(0)^2 + 20 = 20$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(2) = 0.5(2)^4 - 4(2)^2 + 20 = 8 - 16 + 20 = 12$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$; точки минимума $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 2$, точка максимума $x_{max} = 0$.

2) $y = -x^4 - 24x^2 - 5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (-x^4 - 24x^2 - 5)' = -4x^3 - 48x$.

Найдём критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-4x^3 - 48x = 0$

$-4x(x^2 + 12) = 0$

Так как выражение $x^2 + 12$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), единственным решением является $x=0$. Это единственная критическая точка.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$, при $x=-1$, $y'(-1) = -4(-1)( (-1)^2 + 12) = 4 \cdot 13 = 52 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; +\infty)$, при $x=1$, $y'(1) = -4(1)(1^2 + 12) = -4 \cdot 13 = -52 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = -(0)^4 - 24(0)^2 - 5 = -5$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$.

3) $y = -2x^4 - 16x^2 + 1$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

Найдём производную функции: $y' = (-2x^4 - 16x^2 + 1)' = -8x^3 - 32x$.

Найдём критические точки из уравнения $y' = 0$:

$-8x^3 - 32x = 0$

$-8x(x^2 + 4) = 0$

Так как выражение $x^2 + 4$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), единственным решением является $x=0$. Это единственная критическая точка.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$, при $x=-1$, $y'(-1) = -8(-1)( (-1)^2 + 4) = 8 \cdot 5 = 40 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; +\infty)$, при $x=1$, $y'(1) = -8(1)(1^2 + 4) = -8 \cdot 5 = -40 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(0) = -2(0)^4 - 16(0)^2 + 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$.

48.19. Найдите точки экстремума функции:

1) $y = \frac{\sqrt{2+x}}{3-x^2}$;

2) $y = \frac{\sqrt{4-x}}{x^2-8}$;

3) $y = x \cdot \operatorname{arctg}x.$

1) Дана функция $y = \frac{\sqrt{2+x}}{3-x^2}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases}2+x \geq 0 \\3-x^2 \neq 0\end{cases}\implies\begin{cases}x \geq -2 \\x \neq \pm\sqrt{3}\end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(\sqrt{2+x})'(3-x^2) - \sqrt{2+x}(3-x^2)'}{(3-x^2)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{2+x}}(3-x^2) - \sqrt{2+x}(-2x)}{(3-x^2)^2}$

$y' = \frac{3-x^2 + 2x \cdot 2(2+x)}{2\sqrt{2+x}(3-x^2)^2} = \frac{3-x^2 + 8x + 4x^2}{2\sqrt{2+x}(3-x^2)^2} = \frac{3x^2 + 8x + 3}{2\sqrt{2+x}(3-x^2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:

$3x^2 + 8x + 3 = 0$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm \sqrt{64-36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$ и $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$.

Проверим, входят ли эти точки в ОДЗ. $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3} \approx -2.215$ не входит в ОДЗ, так как $-2.215 < -2$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{7}}{3} \approx -0.451$ входит в ОДЗ.

Производная не определена в точке $x = -2$ (крайняя точка ОДЗ), которую также нужно исследовать.

4. Исследуем знак производной на интервалах ОДЗ. Знак $y'$ определяется знаком числителя $3x^2 + 8x + 3$, так как знаменатель $2\sqrt{2+x}(3-x^2)^2$ положителен внутри ОДЗ.

График $f(x)=3x^2+8x+3$ — парабола с ветвями вверх.

- На интервалах $[-2, \frac{-4+\sqrt{7}}{3})$ (исключая точку $x=-\sqrt{3}$), $y' < 0$, функция убывает.

- На интервалах $(\frac{-4+\sqrt{7}}{3}, \infty)$ (исключая точку $x=\sqrt{3}$), $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = \frac{-4+\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума.

Точка $x = -2$ является граничной точкой ОДЗ. Так как при $x > -2$ (вблизи -2) функция убывает, то $x=-2$ является точкой локального максимума.

Ответ: $x_{max} = -2$, $x_{min} = \frac{-4+\sqrt{7}}{3}$.

2) Дана функция $y = \frac{\sqrt{4-x}}{x^2-8}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ):

$\begin{cases}4-x \geq 0 \\x^2-8 \neq 0\end{cases}\implies\begin{cases}x \leq 4 \\x \neq \pm\sqrt{8}\end{cases}\implies\begin{cases}x \leq 4 \\x \neq \pm 2\sqrt{2}\end{cases}$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, 4]$.

2. Найдем производную функции:

$y' = \frac{(\sqrt{4-x})'(x^2-8) - \sqrt{4-x}(x^2-8)'}{(x^2-8)^2} = \frac{\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}(x^2-8) - \sqrt{4-x}(2x)}{(x^2-8)^2}$

$y' = \frac{-(x^2-8) - 2x \cdot 2(4-x)}{2\sqrt{4-x}(x^2-8)^2} = \frac{-x^2+8 - 16x + 4x^2}{2\sqrt{4-x}(x^2-8)^2} = \frac{3x^2 - 16x + 8}{2\sqrt{4-x}(x^2-8)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем числитель производной к нулю:

$3x^2 - 16x + 8 = 0$

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256-96}}{6} = \frac{16 \pm \sqrt{160}}{6} = \frac{16 \pm 4\sqrt{10}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{3}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{8 - 2\sqrt{10}}{3}$ и $x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{10}}{3}$.

Проверим, входят ли эти точки в ОДЗ ($x \le 4$).

$x_1 = \frac{8 - 2\sqrt{10}}{3} \approx 0.559$. Эта точка входит в ОДЗ, так как $0.559 < 4$.

$x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{10}}{3} \approx 4.775$. Эта точка не входит в ОДЗ, так как $4.775 > 4$.

Также исследуем граничную точку ОДЗ $x=4$.

4. Исследуем знак производной. Знак $y'$ определяется знаком числителя $3x^2 - 16x + 8$.

График $f(x)=3x^2-16x+8$ — парабола с ветвями вверх.

- На интервалах $(-\infty, \frac{8-2\sqrt{10}}{3})$ (исключая точку $x=-2\sqrt{2}$), $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервалах $(\frac{8-2\sqrt{10}}{3}, 4]$ (исключая точку $x=2\sqrt{2}$), $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x = \frac{8-2\sqrt{10}}{3}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка локального максимума.

Точка $x = 4$ является граничной точкой ОДЗ. Так как при $x < 4$ (вблизи 4) функция убывает, то $x=4$ является точкой локального минимума.

Ответ: $x_{max} = \frac{8-2\sqrt{10}}{3}$, $x_{min} = 4$.

3) Дана функция $y = x \cdot \arctan x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, \infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x)' \arctan x + x (\arctan x)' = \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$\arctan x + \frac{x}{1+x^2} = 0$.

Легко видеть, что $x=0$ является решением, так как $\arctan 0 + \frac{0}{1+0^2} = 0$.

Чтобы доказать, что это единственное решение, найдем вторую производную $y''$:

$y'' = (\arctan x + \frac{x}{1+x^2})' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

$y'' = \frac{1+x^2+1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2}$.

Так как $y'' > 0$ для всех $x$, функция $y'(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, она может обращаться в ноль только в одной точке. Таким образом, $x=0$ — единственная критическая точка.

4. Исследуем знак производной $y'$ в окрестности точки $x=0$.

- При $x > 0$, имеем $\arctan x > 0$ и $\frac{x}{1+x^2} > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает.

- При $x < 0$, имеем $\arctan x < 0$ и $\frac{x}{1+x^2} < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка локального минимума.

Ответ: $x_{min} = 0$.

48.20. Найдите экстремумы функции:

1) $y = \frac{x^2 - x - 1}{x^2 - x - 2}$;

2) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$;

3) $y = \frac{x^2 + 2}{x^2 + x - 2}$.

1) Для функции $y = \frac{x^2 - x - 1}{x^2 - x - 2}$ найдем экстремумы.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - x - 2 \neq 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ это $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x^2 - x - 1)'(x^2 - x - 2) - (x^2 - x - 1)(x^2 - x - 2)'}{(x^2 - x - 2)^2}$

$y' = \frac{(2x - 1)(x^2 - x - 2) - (x^2 - x - 1)(2x - 1)}{(x^2 - x - 2)^2}$

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$y' = \frac{(2x - 1)((x^2 - x - 2) - (x^2 - x - 1))}{(x^2 - x - 2)^2} = \frac{(2x - 1)(-1)}{(x^2 - x - 2)^2} = \frac{1 - 2x}{(x^2 - x - 2)^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.

Эта точка принадлежит области определения функции.

Исследуем знак производной в окрестности точки $x = 1/2$. Знаменатель $(x^2 - x - 2)^2$ всегда положителен в области определения, поэтому знак производной определяется знаком числителя $1 - 2x$.

При $x < 1/2$, $1 - 2x > 0$, следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

При $x > 1/2$, $1 - 2x < 0$, следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = 1/2$, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1}{(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{4}{4}}{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4}} = \frac{-5/4}{-9/4} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $y_{max} = \frac{5}{9}$.

2) Для функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ найдем экстремумы.

Область определения: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем производную:

$y' = \frac{(x^2 + 1)'(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.

Точка $x = 0$ принадлежит области определения.

Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2-1)^2$ положителен, поэтому знак $y'$ определяется знаком числителя $-4x$.

При $x < 0$, $-4x > 0$, следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

При $x > 0$, $-4x < 0$, следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в точке максимума:

$y_{max} = y(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 - 1} = -1$.

Ответ: $y_{max} = -1$.

3) Для функции $y = \frac{x^2 + 2}{x^2 + x - 2}$ найдем экстремумы.

Область определения: $x^2 + x - 2 \neq 0 \implies (x+2)(x-1) \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

Найдем производную:

$y' = \frac{(x^2 + 2)'(x^2 + x - 2) - (x^2 + 2)(x^2 + x - 2)'}{(x^2 + x - 2)^2}$

$y' = \frac{2x(x^2 + x - 2) - (x^2 + 2)(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2} = \frac{2x^3 + 2x^2 - 4x - (2x^3 + x^2 + 4x + 2)}{(x^2 + x - 2)^2}$

$y' = \frac{x^2 - 8x - 2}{(x^2 + x - 2)^2}$

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$x^2 - 8x - 2 = 0$

$D = (-8)^2 - 4(1)(-2) = 64 + 8 = 72 = 36 \cdot 2$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 3\sqrt{2}$.

Обе точки, $x_1 = 4 - 3\sqrt{2} \approx -0.24$ и $x_2 = 4 + 3\sqrt{2} \approx 8.24$, принадлежат области определения.

Знак производной определяется знаком числителя $f(x) = x^2 - 8x - 2$. Это парабола с ветвями вверх.

Следовательно, $y' > 0$ на интервалах $(-\infty, 4 - 3\sqrt{2})$ и $(4 + 3\sqrt{2}, +\infty)$, и $y' < 0$ на интервале $(4 - 3\sqrt{2}, 4 + 3\sqrt{2})$.

В точке $x = 4 - 3\sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума.

В точке $x = 4 + 3\sqrt{2}$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума.

Найдем значения экстремумов. Для корня $x_0$ уравнения $x^2 - 8x - 2 = 0$ верно $x_0^2 = 8x_0 + 2$.

$y(x_0) = \frac{x_0^2 + 2}{x_0^2 + x_0 - 2} = \frac{(8x_0 + 2) + 2}{(8x_0 + 2) + x_0 - 2} = \frac{8x_0 + 4}{9x_0}$.

$y_{max} = y(4 - 3\sqrt{2}) = \frac{8(4 - 3\sqrt{2}) + 4}{9(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{32 - 24\sqrt{2} + 4}{36 - 27\sqrt{2}} = \frac{36 - 24\sqrt{2}}{36 - 27\sqrt{2}} = \frac{12(3 - 2\sqrt{2})}{9(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{4(3 - 2\sqrt{2})}{3(4 - 3\sqrt{2})}$.

Рационализируем знаменатель: $\frac{4(3 - 2\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})}{3(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{4(12 + 9\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 12)}{3(16 - 18)} = \frac{4\sqrt{2}}{3(-2)} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$y_{min} = y(4 + 3\sqrt{2}) = \frac{8(4 + 3\sqrt{2}) + 4}{9(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{36 + 24\sqrt{2}}{36 + 27\sqrt{2}} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{9(4 + 3\sqrt{2})} = \frac{4(3 + 2\sqrt{2})}{3(4 + 3\sqrt{2})}$.

Рационализируем знаменатель: $\frac{4(3 + 2\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2})}{3(4 + 3\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2})} = \frac{4(12 - 9\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 12)}{3(16 - 18)} = \frac{4(-\sqrt{2})}{3(-2)} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $y_{max} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $y_{min} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

48.21. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{8x + 3}{2 - 5x}$

2) $y = \sin^8(1 - 8x)$

3) $y = \sqrt{\frac{3x}{6 + x}}$

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{8x+3}{2-5x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 8x + 3$ и $v(x) = 2 - 5x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (8x + 3)' = 8$

$v'(x) = (2 - 5x)' = -5$

Подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(8x+3)'(2-5x) - (8x+3)(2-5x)'}{(2-5x)^2} = \frac{8(2-5x) - (8x+3)(-5)}{(2-5x)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{16 - 40x - (-40x - 15)}{(2-5x)^2} = \frac{16 - 40x + 40x + 15}{(2-5x)^2} = \frac{31}{(2-5x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{31}{(2-5x)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sin^8(1 - 8x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Функцию можно представить в виде цепочки: $y = u^8$, где $u = \sin(v)$, а $v = 1 - 8x$.

Производная сложной функции находится как произведение производных составляющих ее функций:

$y' = ((\sin(1-8x))^8)' = 8\sin^{8-1}(1-8x) \cdot (\sin(1-8x))'$

$y' = 8\sin^7(1-8x) \cdot \cos(1-8x) \cdot (1-8x)'$

$y' = 8\sin^7(1-8x) \cdot \cos(1-8x) \cdot (-8)$

$y' = -64\sin^7(1-8x)\cos(1-8x)$

Ответ: $y' = -64\sin^7(1-8x)\cos(1-8x)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{\frac{3x}{6+x}}$ представим ее в виде $y = (\frac{3x}{6+x})^{1/2}$ и воспользуемся цепным правилом и правилом дифференцирования частного.

Производная находится по формуле $(u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot u'$. В нашем случае $u = \frac{3x}{6+x}$.

$y' = \frac{1}{2}(\frac{3x}{6+x})^{-1/2} \cdot (\frac{3x}{6+x})'$

Сначала найдем производную дроби $u'(x) = (\frac{3x}{6+x})'$:

$u'(x) = \frac{(3x)'(6+x) - 3x(6+x)'}{(6+x)^2} = \frac{3(6+x) - 3x(1)}{(6+x)^2} = \frac{18+3x-3x}{(6+x)^2} = \frac{18}{(6+x)^2}$.

Теперь подставим все в исходное выражение для производной:

$y' = \frac{1}{2}(\frac{3x}{6+x})^{-1/2} \cdot \frac{18}{(6+x)^2} = 9 \cdot \sqrt{\frac{6+x}{3x}} \cdot \frac{1}{(6+x)^2}$

Упростим полученное выражение:

$y' = 9 \cdot \frac{\sqrt{6+x}}{\sqrt{3x}} \cdot \frac{1}{(6+x)^2} = \frac{9\sqrt{6+x}}{\sqrt{3x}(6+x)^2} = \frac{9}{\sqrt{3x}(6+x)^{3/2}}$

Запишем ответ в более компактном виде:

$y' = \frac{9}{(6+x)\sqrt{3x(6+x)}} = \frac{9}{(6+x)\sqrt{18x+3x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{9}{(6+x)\sqrt{18x+3x^2}}$.

48.22. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -x^3 + 1,5$;

2) $f(x) = -x^2 + 8.$

1) Для построения графика функции $y = f(x) = -x^3 + 1.5$ выполним следующие шаги:

1. Определим основной вид функции. Это кубическая функция, её базовый график — кубическая парабола $y = x^3$.

2. Проанализируем преобразования графика. График функции $y = -x^3 + 1.5$ получается из графика функции $y = x^3$ с помощью двух преобразований:

a) Симметричное отражение относительно оси Ox. Это преобразование соответствует знаку "минус" перед $x^3$ и дает нам промежуточную функцию $y = -x^3$.

b) Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Oy на 1,5 единицы вверх. Это преобразование соответствует прибавлению константы 1,5.

3. Найдем несколько ключевых точек для более точного построения. Для этого составим таблицу значений:

При $x = -2$, $y = -(-2)^3 + 1.5 = 8 + 1.5 = 9.5$

При $x = -1$, $y = -(-1)^3 + 1.5 = 1 + 1.5 = 2.5$

При $x = 0$, $y = -(0)^3 + 1.5 = 1.5$ (точка пересечения с осью Oy)

При $x = 1$, $y = -(1)^3 + 1.5 = -1 + 1.5 = 0.5$

При $x = 2$, $y = -(2)^3 + 1.5 = -8 + 1.5 = -6.5$

Найдем точку пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю:

$0 = -x^3 + 1.5 \implies x^3 = 1.5 \implies x = \sqrt[3]{1.5} \approx 1.14$.

4. Построим график. Сначала строим график $y = -x^3$, который проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, -1)$. Затем сдвигаем этот график на 1,5 единицы вверх. Точка $(0, 0)$ перейдет в $(0, 1.5)$, точка $(-1, 1)$ в $(-1, 2.5)$, а точка $(1, -1)$ в $(1, 0.5)$. Соединяем точки плавной линией, получая искомый график.

Ответ: График функции $y = -x^3 + 1.5$ — это кубическая парабола, полученная из графика $y = x^3$ путем его отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 1.5 единицы вверх по оси Oy. График проходит через точки $(-2, 9.5)$, $(-1, 2.5)$, $(0, 1.5)$, $(1, 0.5)$, $(2, -6.5)$.

2) Для построения графика функции $y = f(x) = -x^2 + 8$ выполним следующие шаги:

1. Определим основной вид функции. Это квадратичная функция, её график — парабола.

2. Проанализируем преобразования графика. График функции $y = -x^2 + 8$ получается из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью двух преобразований:

a) Симметричное отражение относительно оси Ox. Это преобразование соответствует знаку "минус" перед $x^2$ и дает нам промежуточную функцию $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз.

b) Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Oy на 8 единиц вверх. Это преобразование соответствует прибавлению константы 8.

3. Найдем ключевые характеристики и точки параболы.

a) Вершина параболы. Для функции $y = -x^2$, вершина находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 8 единиц вверх, вершина искомой параболы будет в точке $(0, 8)$.

b) Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось Oy).

c) Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1).

d) Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: $x = 0 \implies y = -0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$ — это вершина.

С осью Ox: $y = 0 \implies -x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$. (Приблизительно $x \approx \pm 2.83$).

4. Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси Oy:

При $x = \pm 1$, $y = -(\pm 1)^2 + 8 = -1 + 8 = 7$

При $x = \pm 2$, $y = -(\pm 2)^2 + 8 = -4 + 8 = 4$

При $x = \pm 3$, $y = -(\pm 3)^2 + 8 = -9 + 8 = -1$

5. Построим график. Отмечаем вершину $(0, 8)$ и точки из таблицы. Соединяем их плавной кривой, учитывая, что ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 8$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 8)$, ветви которой направлены вниз. График симметричен относительно оси Oy и пересекает ось Ox в точках $(-2\sqrt{2}, 0)$ и $(2\sqrt{2}, 0)$.

48.23. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$:

1) $f(x) = 2\cos9x + 9x$;

2) $f(x) = -x^3 + 12x$.

1) Сначала найдем производную функции $f(x) = 2\cos9x + 9x$.

Используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (2\cos9x + 9x)' = 2 \cdot (-\sin9x) \cdot (9x)' + 9 = -18\sin9x + 9$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$-18\sin9x + 9 \geq 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-18\sin9x \geq -9$

Разделим обе части на -18, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin9x \leq \frac{-9}{-18}$

$\sin9x \leq \frac{1}{2}$

Обозначим $t = 9x$. Неравенство примет вид $\sin t \leq \frac{1}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является объединение промежутков. На единичной окружности синус (ордината точки) меньше или равен $\frac{1}{2}$ для углов, находящихся в интервале от $\frac{5\pi}{6}$ до $2\pi+\frac{\pi}{6}$ (или, что то же самое, от $-\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$). С учетом периодичности, решение для $t$ можно записать в виде:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leq t \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 9x$:

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leq 9x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 9:

$-\frac{7\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9} \leq x \leq \frac{\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{7\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9}; \frac{\pi}{54} + \frac{2\pi k}{9}\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) Найдем производную функции $f(x) = -x^3 + 12x$.

$f'(x) = (-x^3 + 12x)' = -3x^2 + 12$.

Далее решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$-3x^2 + 12 \geq 0$

Разделим обе части неравенства на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 - 4 \leq 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x-2)(x+2) \leq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх, которая пересекает ось Ox в точках -2 и 2. Значения функции неположительны ($y \leq 0$) на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-2; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$.