Номер 48.21, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.21. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{8x + 3}{2 - 5x}$

2) $y = \sin^8(1 - 8x)$

3) $y = \sqrt{\frac{3x}{6 + x}}$

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{8x+3}{2-5x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 8x + 3$ и $v(x) = 2 - 5x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (8x + 3)' = 8$

$v'(x) = (2 - 5x)' = -5$

Подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(8x+3)'(2-5x) - (8x+3)(2-5x)'}{(2-5x)^2} = \frac{8(2-5x) - (8x+3)(-5)}{(2-5x)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{16 - 40x - (-40x - 15)}{(2-5x)^2} = \frac{16 - 40x + 40x + 15}{(2-5x)^2} = \frac{31}{(2-5x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{31}{(2-5x)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sin^8(1 - 8x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Функцию можно представить в виде цепочки: $y = u^8$, где $u = \sin(v)$, а $v = 1 - 8x$.

Производная сложной функции находится как произведение производных составляющих ее функций:

$y' = ((\sin(1-8x))^8)' = 8\sin^{8-1}(1-8x) \cdot (\sin(1-8x))'$

$y' = 8\sin^7(1-8x) \cdot \cos(1-8x) \cdot (1-8x)'$

$y' = 8\sin^7(1-8x) \cdot \cos(1-8x) \cdot (-8)$

$y' = -64\sin^7(1-8x)\cos(1-8x)$

Ответ: $y' = -64\sin^7(1-8x)\cos(1-8x)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{\frac{3x}{6+x}}$ представим ее в виде $y = (\frac{3x}{6+x})^{1/2}$ и воспользуемся цепным правилом и правилом дифференцирования частного.

Производная находится по формуле $(u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot u'$. В нашем случае $u = \frac{3x}{6+x}$.

$y' = \frac{1}{2}(\frac{3x}{6+x})^{-1/2} \cdot (\frac{3x}{6+x})'$

Сначала найдем производную дроби $u'(x) = (\frac{3x}{6+x})'$:

$u'(x) = \frac{(3x)'(6+x) - 3x(6+x)'}{(6+x)^2} = \frac{3(6+x) - 3x(1)}{(6+x)^2} = \frac{18+3x-3x}{(6+x)^2} = \frac{18}{(6+x)^2}$.

Теперь подставим все в исходное выражение для производной:

$y' = \frac{1}{2}(\frac{3x}{6+x})^{-1/2} \cdot \frac{18}{(6+x)^2} = 9 \cdot \sqrt{\frac{6+x}{3x}} \cdot \frac{1}{(6+x)^2}$

Упростим полученное выражение:

$y' = 9 \cdot \frac{\sqrt{6+x}}{\sqrt{3x}} \cdot \frac{1}{(6+x)^2} = \frac{9\sqrt{6+x}}{\sqrt{3x}(6+x)^2} = \frac{9}{\sqrt{3x}(6+x)^{3/2}}$

Запишем ответ в более компактном виде:

$y' = \frac{9}{(6+x)\sqrt{3x(6+x)}} = \frac{9}{(6+x)\sqrt{18x+3x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{9}{(6+x)\sqrt{18x+3x^2}}$.