Номер 49.3, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.3. Дан график функции (рис. 49.4). Запишите промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

Для определения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции по его изображению необходимо проанализировать направление изгиба кривой.

Выпуклость (или выпуклость вверх): График функции называется выпуклым на некотором промежутке, если он на этом промежутке расположен ниже любой своей касательной (кроме точки касания). Визуально такой участок графика имеет форму, обращенную изгибом вверх (∩, как "холм"). Если функция дважды дифференцируема, то на этом промежутке её вторая производная $f''(x) \le 0$.

Вогнутость (или выпуклость вниз): График функции называется вогнутым на некотором промежутке, если он на этом промежутке расположен выше любой своей касательной. Визуально такой участок графика имеет форму, обращенную изгибом вниз (∪, как "чаша"). Если функция дважды дифференцируема, то на этом промежутке её вторая производная $f''(x) \ge 0$.

Точки, в которых направление выпуклости графика меняется на противоположное, называются точками перегиба.

Поскольку изображение с самим графиком (рис. 49.4) отсутствует, невозможно дать конкретный ответ для данной задачи. Ниже представлен общий метод решения на гипотетическом примере.

Предположим, что анализ графика некоторой функции $y = f(x)$ показал следующее:

- На промежутке $(-\infty, -2]$ график является вогнутым (выпуклым вниз, ∪).

- На промежутке $[-2, 1]$ график является выпуклым (выпуклым вверх, ∩).

- На промежутке $[1, \infty)$ график снова является вогнутым (выпуклым вниз, ∪).

Следовательно, точки $x = -2$ и $x = 1$ являются точками перегиба.

Основываясь на этом гипотетическом анализе, запишем промежутки выпуклости и вогнутости.

Промежутки выпуклости

Промежутками выпуклости являются интервалы, на которых график имеет форму "холма" (∩). В нашем примере это один промежуток.

Ответ: промежуток выпуклости графика функции: $[-2, 1]$.

Промежутки вогнутости

Промежутками вогнутости являются интервалы, на которых график имеет форму "чаши" (∪). В нашем примере таких промежутков два.

Ответ: промежутки вогнутости графика функции: $(-\infty, -2]$ и $[1, \infty)$.