Номер 49.10, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.10. Найдите промежутки вогнутости и выпуклости функции:

1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 1};$

2) $y = \frac{x^3}{4 - x^2};$

3) $y = \frac{x^3 + 2}{9 - x^2}.$

Для нахождения промежутков вогнутости и выпуклости функции необходимо найти ее вторую производную и определить знаки этой производной на области определения функции.

• Если $y'' > 0$ на некотором промежутке, то функция на этом промежутке вогнута (выпукла вниз).
• Если $y'' < 0$ на некотором промежутке, то функция на этом промежутке выпукла (выпукла вверх).

1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 1}$

1. Область определения функции: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(x^3)'(x^2 - 1) - x^3(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2(x^2 - 1) - x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}\right)' = \frac{(x^4 - 3x^2)'(x^2 - 1)^2 - (x^4 - 3x^2)((x^2 - 1)^2)'}{((x^2 - 1)^2)^2}$

$y'' = \frac{(4x^3 - 6x)(x^2 - 1)^2 - (x^4 - 3x^2) \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4}$

Сократим на $(x^2 - 1)$:

$y'' = \frac{(4x^3 - 6x)(x^2 - 1) - 4x(x^4 - 3x^2)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{4x^5 - 4x^3 - 6x^3 + 6x - 4x^5 + 12x^3}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2x^3 + 6x}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3}$.

4. Найдем точки, в которых $y'' = 0$ или не существует.

$y'' = 0 \implies 2x(x^2 + 3) = 0$. Так как $x^2 + 3 > 0$ для всех $x$, то $2x = 0 \implies x = 0$.

Вторая производная не существует при $x = \pm 1$, но эти точки и так не входят в область определения функции.

5. Определим знаки $y''$ на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Знак $y''$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(x^2 - 1)^3}$, так как множитель $2(x^2+3)$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-}{(-1)^3} = \frac{-}{(+)^3} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$: $\frac{-}{(-0.5)^2 - 1)^3} = \frac{-}{(-)^3} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$: $\frac{+}{((0.5)^2 - 1)^3} = \frac{+}{(-)^3} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$: $\frac{+}{(2^2 - 1)^3} = \frac{+}{(+)^3} > 0$. Функция вогнута.

Ответ: функция вогнута на промежутках $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$; функция выпукла на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$.

2) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения функции: $4 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{4 - x^2}\right)' = \frac{(x^3)'(4 - x^2) - x^3(4 - x^2)'}{(4 - x^2)^2} = \frac{3x^2(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}\right)' = \frac{(12x^2 - x^4)'(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)((4 - x^2)^2)'}{(4 - x^2)^4}$

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4) \cdot 2(4 - x^2) \cdot (-2x)}{(4 - x^2)^4}$

Сократим на $(4 - x^2)$:

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2) + 4x(12x^2 - x^4)}{(4 - x^2)^3} = \frac{96x - 24x^3 - 16x^3 + 4x^5 + 48x^3 - 4x^5}{(4 - x^2)^3} = \frac{96x + 8x^3}{(4 - x^2)^3} = \frac{8x(12 + x^2)}{(4 - x^2)^3}$.

4. Найдем точки, в которых $y'' = 0$ или не существует.

$y'' = 0 \implies 8x(12 + x^2) = 0$. Так как $12 + x^2 > 0$ для всех $x$, то $8x = 0 \implies x = 0$.

Вторая производная не существует при $x = \pm 2$, которые не входят в область определения.

5. Определим знаки $y''$ на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

Знак $y''$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(4 - x^2)^3}$, так как множитель $8(12+x^2)$ всегда положителен.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$: $\frac{-}{(4 - (-3)^2)^3} = \frac{-}{(-)^3} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (-2; 0)$, например $x=-1$: $\frac{-}{(4 - (-1)^2)^3} = \frac{-}{(+)^3} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (0; 2)$, например $x=1$: $\frac{+}{(4 - 1^2)^3} = \frac{+}{(+)^3} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$: $\frac{+}{(4 - 3^2)^3} = \frac{+}{(-)^3} < 0$. Функция выпукла.

Ответ: функция вогнута на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$; функция выпукла на промежутках $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$.

3) $y = \frac{x^3 + 2}{9 - x^2}$

1. Область определения функции: $9 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 3$.

$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3 + 2}{9 - x^2}\right)' = \frac{(x^3 + 2)'(9 - x^2) - (x^3 + 2)(9 - x^2)'}{(9 - x^2)^2} = \frac{3x^2(9 - x^2) - (x^3 + 2)(-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{27x^2 - 3x^4 + 2x^4 + 4x}{(9 - x^2)^2} = \frac{-x^4 + 27x^2 + 4x}{(9 - x^2)^2}$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \frac{(-x^4 + 27x^2 + 4x)'(9 - x^2)^2 - (-x^4 + 27x^2 + 4x)((9 - x^2)^2)'}{(9 - x^2)^4}$

$y'' = \frac{(-4x^3 + 54x + 4)(9 - x^2)^2 - (-x^4 + 27x^2 + 4x) \cdot 2(9 - x^2) \cdot (-2x)}{(9 - x^2)^4}$

Сократим на $(9 - x^2)$:

$y'' = \frac{(-4x^3 + 54x + 4)(9 - x^2) + 4x(-x^4 + 27x^2 + 4x)}{(9 - x^2)^3}$

Раскроем скобки в числителе:

Числитель = $(4x^5 - 90x^3 - 4x^2 + 486x + 36) + (-4x^5 + 108x^3 + 16x^2) = 18x^3 + 12x^2 + 486x + 36 = 6(3x^3 + 2x^2 + 81x + 6)$.

Итак, $y'' = \frac{6(3x^3 + 2x^2 + 81x + 6)}{(9 - x^2)^3}$.

4. Найдем точки, в которых $y'' = 0$ или не существует.

$y'' = 0 \implies 3x^3 + 2x^2 + 81x + 6 = 0$.

Обозначим $P(x) = 3x^3 + 2x^2 + 81x + 6$. Производная этого многочлена $P'(x) = 9x^2 + 4x + 81$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot 81 < 0$, следовательно, $P'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что $P(x)$ — строго возрастающая функция, и уравнение $P(x)=0$ имеет ровно один действительный корень. Найдем положение этого корня. $P(0) = 6 > 0$, а $P(-1) = -3+2-81+6 = -76 < 0$. Значит, единственный корень $x_0$ находится в интервале $(-1; 0)$.

Вторая производная не существует при $x = \pm 3$.

5. Определим знаки $y''$ на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; x_0)$, $(x_0; 3)$, $(3; +\infty)$.

Знак $y''$ определяется знаком выражения $\frac{P(x)}{(9 - x^2)^3}$.

• При $x \in (-\infty; -3)$: $x < x_0 \implies P(x) < 0$. $9-x^2 < 0$. $y''$ имеет знак $\frac{-}{(-)} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (-3; x_0)$: $x < x_0 \implies P(x) < 0$. $9-x^2 > 0$. $y''$ имеет знак $\frac{-}{(+)} < 0$. Функция выпукла.
• При $x \in (x_0; 3)$: $x > x_0 \implies P(x) > 0$. $9-x^2 > 0$. $y''$ имеет знак $\frac{+}{(+)} > 0$. Функция вогнута.
• При $x \in (3; +\infty)$: $x > x_0 \implies P(x) > 0$. $9-x^2 < 0$. $y''$ имеет знак $\frac{+}{(-)} < 0$. Функция выпукла.

Ответ: пусть $x_0$ - единственный корень уравнения $3x^3 + 2x^2 + 81x + 6 = 0$ ($x_0 \approx -0.074$). Функция вогнута на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(x_0; 3)$; функция выпукла на промежутках $(-3; x_0)$ и $(3; +\infty)$.