Номер 49.12, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.12. Найдите координаты точек перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$;

2) $y = x + \text{arctgx}$;

3) $y = 2x - \text{arctgx}$.

Точки перегиба графика функции — это точки, в которых меняется направление выпуклости графика. Для их нахождения необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни уравнения. Эти корни, а также точки, в которых вторая производная не существует, являются возможными точками перегиба. Если при переходе через такую точку вторая производная меняет знак, то это и есть точка перегиба.

1) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(2x)'(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

Теперь найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\right)' = \frac{(2 - 2x^2)'(x^2 + 1)^2 - (2 - 2x^2)((x^2 + 1)^2)'}{((x^2 + 1)^2)^2}$

$y'' = \frac{-4x(x^2 + 1)^2 - (2 - 2x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$

Сократим на $(x^2 + 1)$:

$y'' = \frac{-4x(x^2 + 1) - 4x(2 - 2x^2)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-4x^3 - 4x - 8x + 8x^3}{(x^2 + 1)^3} = \frac{4x^3 - 12x}{(x^2 + 1)^3}$.

Приравняем вторую производную к нулю для нахождения возможных точек перегиба:

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{4x^3 - 12x}{(x^2 + 1)^3} = 0$

$4x^3 - 12x = 0$

$4x(x^2 - 3) = 0$

Отсюда получаем три возможных точки перегиба: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.

Проверим смену знака второй производной в этих точках. Знак $y''$ зависит только от знака числителя $4x(x^2-3)$.

• При $x < -\sqrt{3}$ (например, $x=-2$), $y'' < 0$ (график выпуклый вверх).
• При $-\sqrt{3} < x < 0$ (например, $x=-1$), $y'' > 0$ (график выпуклый вниз).
• При $0 < x < \sqrt{3}$ (например, $x=1$), $y'' < 0$ (график выпуклый вверх).
• При $x > \sqrt{3}$ (например, $x=2$), $y'' > 0$ (график выпуклый вниз).

Найдем ординаты этих точек:

$y(0) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 1} = 0$. Точка $(0; 0)$.

$y(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

$y(-\sqrt{3}) = \frac{2(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{-2\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) $y = x + \arctan x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$.

Найдем первую производную:

$y' = (x + \arctan x)' = 1 + \frac{1}{1 + x^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(1 + \frac{1}{1 + x^2}\right)' = \left(1 + (1+x^2)^{-1}\right)' = -(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$.

Приравняем вторую производную к нулю:

$y'' = 0 \Rightarrow -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = 0$

$-2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Проверим смену знака $y''$ в точке $x=0$.

• При $x < 0$, $y'' = -\frac{2x}{(+)} > 0$ (график выпуклый вниз).
• При $x > 0$, $y'' = -\frac{2x}{(+)} < 0$ (график выпуклый вверх).

Найдем ординату точки:

$y(0) = 0 + \arctan(0) = 0$.

Ответ: $(0; 0)$.

3) $y = 2x - \arctan x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$.

Найдем первую производную:

$y' = (2x - \arctan x)' = 2 - \frac{1}{1 + x^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(2 - \frac{1}{1 + x^2}\right)' = \left(2 - (1+x^2)^{-1}\right)' = -(-(1+x^2)^{-2} \cdot (2x)) = \frac{2x}{(1 + x^2)^2}$.

Приравняем вторую производную к нулю:

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{2x}{(1 + x^2)^2} = 0$

$2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Проверим смену знака $y''$ в точке $x=0$.

• При $x < 0$, $y'' = \frac{2x}{(+)} < 0$ (график выпуклый вверх).
• При $x > 0$, $y'' = \frac{2x}{(+)} > 0$ (график выпуклый вниз).

Найдем ординату точки:

$y(0) = 2 \cdot 0 - \arctan(0) = 0$.

Ответ: $(0; 0)$.